🗺️ 知识地图
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什么是整除 What is Divisibility?
基础
必考
如果一个整数 a 除以一个非零整数 b，商恰好是整数而没有余数，我们就说 b 整除 a，或者说 a 能被 b 整除。
If an integer a is divided by a non-zero integer b and the quotient is an integer with no remainder, we say b divides a (written as b | a).
📝 数学表达 / Mathematical Notation
b | a 读作 "b 整除 a"（b divides a）
意思是：存在整数 k，使得 a = b × k
It means: there exists an integer k such that a = b × k
举例：
- 3 | 15 → 15 = 3 × 5 ✓ 3 divides 15, since 15 = 3 × 5
- 7 | 21 → 21 = 7 × 3 ✓ 7 divides 21, since 21 = 7 × 3
- 4 ∤ 10 → 10 ÷ 4 = 2 余 2 ✗ 4 does NOT divide 10 (remainder 2)
💡 邓老师提示：整除的符号是竖线 "|"，读作"整除"或"divides"。注意 b | a 和 a ÷ b 含义不同——前者是一种"关系"（b能整除a），后者是一个"运算"（a除以b）。
📌 例题 1 基础概念
以下哪个选项中的数能被 6 整除？ Which of the following numbers is divisible by 6?
解题思路
被 6 整除的条件：同时能被 2 和 3 整除。A) 34 → 偶数 ✓，但 3+4=7 不是3的倍数 ✗
B) 52 → 偶数 ✓，但 5+2=7 不是3的倍数 ✗
C) 72 → 偶数 ✓，且 7+2=9 是3的倍数 ✓，答案选 C
D) 85 → 奇数 ✗ Divisible by 6 means divisible by both 2 and 3. 72 is even (✓) and 7+2=9 is divisible by 3 (✓). Answer: C.
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整除的判定法则 Divisibility Rules
基础
高频
AMC 8 中最常用的整除判定法则如下，必须熟记：
The following divisibility rules are most frequently tested on the AMC 8. Memorize them!
| 除数 | 判定条件 | Divisibility Condition | 示例 |
|---|---|---|---|
| 2 | 末位是偶数（0, 2, 4, 6, 8） | Last digit is even | 346 → 末位6 ✓ |
| 3 | 各位数字之和能被3整除 | Sum of digits divisible by 3 | 273 → 2+7+3=12 ✓ |
| 4 | 末两位数能被4整除 | Last two digits divisible by 4 | 516 → 16÷4=4 ✓ |
| 5 | 末位是0或5 | Last digit is 0 or 5 | 485 → 末位5 ✓ |
| 6 | 同时能被2和3整除 | Divisible by both 2 and 3 | 234 → 偶数+和9 ✓ |
| 8 | 末三位数能被8整除 | Last three digits divisible by 8 | 1040 → 040÷8=5 ✓ |
| 9 | 各位数字之和能被9整除 | Sum of digits divisible by 9 | 891 → 8+9+1=18 ✓ |
| 10 | 末位是0 | Last digit is 0 | 570 → 末位0 ✓ |
| 11 | 奇数位和与偶数位和之差能被11整除 | Alternating sum divisible by 11 | 121 → (1+1)−2=0 ✓ |
💡 邓老师提示：AMC 8 最常考的是 2、3、4、5、6、8、9 的判定法则，其中被3整除和被9整除的"各位求和法"出现频率最高。被11整除的法则偶尔考到，也要掌握。
⚠️ 注意：被7整除没有简单的"各位数字"判定法则。如果遇到判断是否能被7整除，通常直接做除法。
There is no simple digit-based rule for divisibility by 7. Just perform the division.
📌 例题 2 判定法则
五位数 2473A 能被 3 整除，那么 A 最小可以是多少？ If the five-digit number 2473A is divisible by 3, what is the smallest possible value of A?
解题思路
被 3 整除 → 各位数字之和是 3 的倍数。各位之和 = 2 + 4 + 7 + 3 + A = 16 + A
从小到大逐一检验：
A = 0 → 16 ✗ A = 1 → 17 ✗ A = 2 → 18 ✓
所以 A 最小为 2。 Sum = 16+A. A=0→16 ✗, A=1→17 ✗, A=2→18 ✓. Minimum A = 2.
📌 例题 3 综合判定
从 1 到 100 的所有整数中，有多少个是 3 的倍数？ How many integers from 1 to 100 are multiples of 3?
解题思路
求 1 到 100 中 3 的倍数的个数：用 100 ÷ 3 = 33 余 1，取整数部分 ⌊100/3⌋ = 33。
验证：最大的那个是 3 × 33 = 99，确实在 1~100 范围内。3 × 34 = 102 > 100。
所以答案是 33。 ⌊100/3⌋ = 33. The largest is 3 × 33 = 99 ≤ 100, and 3 × 34 = 102 > 100. Answer: 33.