▱ 四边形与面积

Quadrilaterals and Area

四边形是 AMC 8 面积计算的核心。掌握各种四边形的性质和面积公式，能快速解决组合图形的面积问题。

📚 3 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：基础~中等

四边形的基本分类 Types of Quadrilaterals

基础必考

1.1 各种四边形 Types of Quadrilaterals

类型	定义	面积公式
平行四边形	两组对边分别平行	底 × 高
矩形	四个角都是直角	长 × 宽
菱形	四条边都相等	½ × d₁ × d₂
正方形	四边等 + 四角直	边长²
梯形	只有一组对边平行	½ × (上底+下底) × 高

💡 邓老师提示：正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形；矩形和菱形都是特殊的平行四边形。它们之间的包含关系要记清。
A square is a special rectangle and a special rhombus. Rectangles and rhombuses are special parallelograms.

平行四边形的性质 Properties of Parallelograms

核心高频

2.1 平行四边形性质 Parallelogram Properties

📝 平行四边形五大性质 / Five Properties

① 对边平行且相等
② 对角相等
③ 对角线互相平分
④ 邻角互补（和为180°）
⑤ 对角线将图形分为面积相等的4个三角形

Opposite sides parallel and equal, opposite angles equal, diagonals bisect each other, adjacent angles supplementary, diagonals create 4 equal-area triangles.

面积公式 Area Formulas

核心必考

3.1 常用面积公式 Common Area Formulas

📝 面积公式汇总 / Area Formula Summary

矩形：S = 长 × 宽 = lw
平行四边形：S = 底 × 高 = bh
三角形：S = ½ × 底 × 高 = ½bh
梯形：S = ½ × (上底 + 下底) × 高 = ½(a+b)h
菱形：S = ½ × 对角线₁ × 对角线₂ = ½d₁d₂
正方形：S = 边长² = a²

💡 邓老师提示：AMC 8 中求面积最常用的技巧是"割补法"——将不规则图形分割成规则图形，或通过补成大图形再减去多余部分。
The most common AMC 8 technique is "decomposition" — split irregular shapes into familiar ones, or add to make a larger shape then subtract.

例题精讲 Worked Examples

5 题

📌 例题 1 矩形面积

矩形的长为 15，宽为 8。面积是多少？周长是多少？Rectangle: length 15, width 8. Area? Perimeter?

解题思路

面积=15×8=120，周长=2×(15+8)=46。Area=15×8=120, Perimeter=2(15+8)=46.

📌 例题 2 梯形面积

梯形上底为 6，下底为 10，高为 5。面积是多少？Trapezoid: bases 6 and 10, height 5. Area?

解题思路

S = ½ × (6+10) × 5 = ½ × 16 × 5 = 40。S = ½ × (6+10) × 5 = ½ × 16 × 5 = 40.

📌 例题 3 平行四边形

平行四边形底为 12，高为 7。一个角为 60°。面积是多少？Parallelogram: base 12, height 7. Area?

解题思路

S = 底 × 高 = 12 × 7 = 84。角度信息是干扰项。S = base × height = 12 × 7 = 84. The angle info is extra.

📌 例题 4 割补法

一个 L 形图形由两个矩形组成：一个 6×4，一个 4×3（重叠部分为 2×3）。求总面积。An L-shape is made of two rectangles: 6×4 and 4×3, overlapping area 2×3. Total area?

解题思路

S = 6×4 + 4×3 − 2×3 = 24 + 12 − 6 = 30。S = 6×4 + 4×3 − 2×3 = 24+12−6 = 30.

📌 例题 5 菱形面积

菱形的两条对角线分别为 10 和 16。面积是多少？Rhombus diagonals are 10 and 16. Area?

解题思路

S = ½ × 10 × 16 = 80。S = ½ × 10 × 16 = 80.

巩固练习 Practice Problems

8 题

第1题正方形边长为 9，面积是多少？Square with side 9. Area?

第2题梯形上底=5，下底=9，高=6。面积是多少？Trapezoid: bases 5,9; height 6. Area?

第3题平行四边形面积为 60，底为 12，高是多少？Parallelogram area=60, base=12. Height?

第4题矩形周长为 30，长比宽多 3。面积是多少？Rectangle perimeter=30, length is 3 more than width. Area?

第5题正方形对角线长为 10，面积是多少？Square diagonal=10. Area?

第6题平行四边形一个角为 65°，相邻的角是多少度？Parallelogram has angle 65°. Adjacent angle?

第7题矩形面积为 96，长宽之比为 3:2。长是多少？Rectangle area=96, length:width=3:2. Length?

第8题一个 8×6 的矩形纸片，剪去一个最大的正方形后，剩余部分的面积是多少？From an 8×6 rectangle, cut out the largest possible square. Remaining area?

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