🔗 因数与倍数

1.1 因数与倍数的定义 Definition of Factors and Multiples

如果整数 a 能被整数 b 整除（即 a ÷ b 没有余数），那么：

• b 叫做 a 的因数（factor / divisor）  b is a factor (or divisor) of a
• a 叫做 b 的倍数（multiple）  a is a multiple of b

举例：

• 12 = 3 × 4 → 3 和 4 都是 12 的因数；12 是 3 和 4 的倍数
• 18 = 2 × 9 → 2 和 9 都是 18 的因数；18 是 2 和 9 的倍数

1.2 因数对 Factor Pairs

每个正整数 a（大于0）都可以写成若干个因数对的乘积。因数对的特点是：两个因数相乘等于 a。

Every positive integer a can be written as the product of factor pairs. Each pair multiplies to a.

举例：

• 12 的因数对：1×12、2×6、3×4 → 因数有 1, 2, 3, 4, 6, 12（共6个）
• 36 的因数对：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6 → 因数有 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36（共9个）

2.1 因数个数公式 Formula for the Number of Factors

如果一个正整数 N 的质因数分解为：

则 N 的因数个数公式为：

举例：

• 12 = 2² × 3¹ → 因数个数 = (2+1)×(1+1) = 3×2 = 6
• 36 = 2² × 3² → 因数个数 = (2+1)×(2+1) = 3×3 = 9
• 60 = 2² × 3¹ × 5¹ → 因数个数 = (2+1)×(1+1)×(1+1) = 3×2×2 = 12

2.2 完全数 Perfect Numbers

完全数（perfect number）是指一个正整数等于它所有真因数（不包括它本身）之和。

A perfect number is a positive integer equal to the sum of all its proper divisors (excluding itself).

举例：

• 6 = 1 + 2 + 3 ✓（最小的完全数）
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ✓（第二个完全数）
• 496 是第三个完全数，8128 是第四个完全数

目前已知的完全数都是偶数，且与 2 的幂有关（欧几里得-欧拉定理）。

All known perfect numbers are even and related to powers of 2 (Euclid-Euler theorem).

3.1 GCD（最大公因数）Greatest Common Divisor

两个或多个整数公共因数中最大的叫做最大公因数，记作 gcd(a, b) 或 (a, b)。

The greatest common divisor (GCD) of two or more integers is the largest integer that divides all of them. Denoted gcd(a, b).

3.2 LCM（最小公倍数）Least Common Multiple

两个或多个整数公共倍数中最小的叫做最小公倍数，记作 lcm(a, b) 或 [a, b]。

The least common multiple (LCM) of two or more integers is the smallest positive integer divisible by all of them. Denoted lcm(a, b).