📏 坐标几何

Coordinate Geometry

直线方程、距离公式、圆的方程和坐标法解题是 AMC 10 中的核心坐标几何考点。将几何问题转化为代数计算是关键策略。

📚 4 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：中等⏱ 约35分钟

直线方程 Equations of Lines

必考高频

📝 常用直线方程形式

斜截式：y = mx + b（m 为斜率，b 为 y 截距）

点斜式：y − y₀ = m(x − x₀)

两点式：(y−y₁)/(y₂−y₁) = (x−x₁)/(x₂−x₁)

截距式：x/a + y/b = 1

斜率公式：m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)

条件	斜率关系
两直线平行	m₁ = m₂（斜率相等）
两直线垂直	m₁ × m₂ = −1（斜率互为负倒数）
水平线	m = 0（y = c）
垂直线	斜率不存在（x = c）

💡 邓老师提示：看到"求直线方程"时，先判断已知条件给的是斜率+一个点（用点斜式），还是两个点（先求斜率再用点斜式）。垂直线的方程直接写 x=c。

距离与中点 Distance and Midpoint

必考

📝 核心公式 / Key Formulas

两点距离：d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)

中点：M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)

点到直线距离：d = |Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²)

圆的方程 Equations of Circles

中等

📝 圆的方程形式

标准方程：(x−a)² + (y−b)² = r²（圆心(a,b)，半径r）

一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0

圆心 = (−D/2, −E/2)，半径 = √(D²/4 + E²/4 − F)

💡 邓老师提示：判断点在圆上/圆内/圆外：将坐标代入 (x−a)²+(y−b)²，与 r² 比较即可。等于r²在圆上，小于r²在圆内，大于r²在圆外。

坐标法解题 Coordinate Methods

进阶

坐标法是将几何问题转化为代数问题的重要策略：

面积问题：利用"鞋带公式"（Shoelace Formula）求多边形面积
角度问题：利用斜率和向量计算
对称问题：利用中点公式求对称点坐标
最值问题：设变量坐标，建立函数求最值

📝 鞋带公式 / Shoelace Formula

对于顶点 (x₁,y₁), (x₂,y₂), ..., (xₙ,yₙ) 的多边形：

S = ½|x₁y₂+x₂y₃+...+xₙy₁ − y₁x₂−y₂x₃−...−yₙx₁|

例题精讲 Worked Examples

5 题

📌 例题 1 斜率

求过 (1, 2) 和 (3, 6) 的直线斜率和方程。Find the slope and equation of the line through (1,2) and (3,6).

解题思路

斜率 m = (6−2)/(3−1) = 4/2 = 2。用点斜式：y−2=2(x−1)，y=2x。Slope = (6−2)/(3−1) = 2. Equation: y = 2x.

📌 例题 2 距离公式

A(1, 3) 和 B(4, 7) 之间的距离是多少？What is the distance between A(1,3) and B(4,7)?

解题思路

d = √((4−1)²+(7−3)²) = √(9+16) = √25 = 5。d = √((4−1)²+(7−3)²) = √(9+16) = √25 = 5.

📌 例题 3 圆的方程

圆心在 (2, 3)、半径为 5 的圆的方程是什么？点 (5, 7) 是否在圆上？What is the equation of the circle with center (2,3) and radius 5? Is (5,7) on the circle?

解题思路

方程：(x−2)²+(y−3)²=25。代入(5,7)：9+16=25 ✓，在圆上。(x−2)²+(y−3)²=25. Substituting (5,7): 9+16=25 ✓, so it IS on the circle.

📌 例题 4 面积

三角形顶点为 (0,0)、(6,0)、(0,8)，求面积和周长。Triangle vertices: (0,0), (6,0), (0,8). Find area and perimeter.

解题思路

面积=½×6×8=24。三边：6, 8, √(36+64)=10。周长=6+8+10=24。Area=½×6×8=24. Sides: 6, 8, 10. Perimeter=24.

📌 例题 5 截距

直线 2x+3y=6 与两坐标轴围成的三角形面积是多少？Line 2x+3y=6. Find the area of the triangle formed with the axes.

解题思路

x截距：y=0, x=3。y截距：x=0, y=2。面积=½×3×2=3。x-intercept: 3. y-intercept: 2. Area = ½×3×2 = 3.

巩固练习 Practice Problems

8 题提交即判

第1题过 (2, 5) 和 (4, 9) 的直线方程是什么？Find the equation of the line through (2,5) and (4,9).

第2题点 (3, 7) 到直线 x + y = 1 的距离是多少？Distance from (3,7) to x+y=1?

第3题圆 x²+y²−4x−6y+9=0 的圆心和半径分别是？Find center and radius of x²+y²−4x−6y+9=0.

第4题若直线 l₁: y=3x+1 和 l₂ 垂直，l₂ 的斜率是多少？If l₁: y=3x+1 is perpendicular to l₂, find the slope of l₂.

第5题 A(−1, 2) 关于 x 轴的对称点坐标是什么？What is the reflection of A(−1,2) across the x-axis?

第6题 A(2, 3) 和 B(8, 3) 的中点坐标是？Midpoint of A(2,3) and B(8,3)?

第7题原点到直线 3x+4y=12 的距离是多少？Distance from origin to 3x+4y=12?

第8题以 (1, 2) 和 (5, 6) 为端点的线段，其垂直平分线的方程是？Find the perpendicular bisector of segment from (1,2) to (5,6).

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