1.1 判定条件 Conditions for Similarity
| 方法 | 条件 | Condition |
|---|---|---|
| AA | 两个角对应相等 | Two angles congruent |
| SAS | 两边对应成比例且夹角相等 | Two sides proportional, included angle equal |
| SSS | 三边对应成比例 | Three sides proportional |
1.2 面积比与相似比 Area Ratio and Similarity Ratio
重要推论：若两个三角形相似比为 k，则：
- 对应高之比 = k
- 对应中线之比 = k
- 对应角平分线之比 = k
- 面积之比 = k²
2.1 圆周角定理 Inscribed Angle Theorem
重要推论：
- 半圆上的圆周角（直径所对的圆周角）= 90°
- 同弧上的圆周角相等
- 圆内接四边形对角互补（和为 180°）
2.2 圆幂定理 Power of a Point
3.1 常用面积公式 Common Area Formulas
| 图形 | 面积公式 | Formula |
|---|---|---|
| 三角形 | S = ½ah = ½ab sinC | ½ × base × height |
| 海伦公式 | S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) | s = (a+b+c)/2 |
| 平行四边形 | S = ah | base × height |
| 梯形 | S = ½(a+b)h | ½ × (上底+下底) × 高 |
| 圆 | S = πr² | π × radius² |
4.1 直角三角形的三角函数 SOH-CAH-TOA
特殊角的三角函数值：
| θ | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
两个相似三角形的相似比为 2:3，较小三角形面积为 12，较大三角形面积为多少？Two similar triangles have similarity ratio 2:3. The smaller has area 12. Find the larger area.
较大面积 = 12 × 9/4 = 27。
Area ratio = (3/2)² = 9/4. Larger area = 12 × 9/4 = 27.
在圆中，弦 AB 的长度为 6，圆心到 AB 的距离为 4，求圆的半径。A chord AB of length 6 is 4 units from the center. Find the radius.
r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
r = 5。
The perpendicular from center bisects the chord. Half-chord = 3. r² = 3² + 4² = 25, so r = 5.
三角形三边为 13、14、15，用海伦公式求面积。Find the area of a triangle with sides 13, 14, 15.
S = √(21×8×7×6) = √(21×8×42) = √7056 = 84。
s = 21. S = √(21×8×7×6) = √7056 = 84.
直角三角形中，一个锐角为 30°，斜边长 10，求较短的直角边长。In a right triangle, an acute angle is 30° and the hypotenuse is 10. Find the shorter leg.
对边 = 10 × 1/2 = 5。
较短的直角边是 30° 所对的边。
sin 30° = opposite/hypotenuse = 1/2. Shorter leg = 10 × 1/2 = 5.
平行四边形 ABCD 中，AB=8，BC=6，对角线 AC=10。求平行四边形的面积。In parallelogram ABCD, AB=8, BC=6, AC=10. Find the area.
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² = AC²
所以 △ABC 是直角三角形，∠B = 90°。
面积 = AB × BC = 8 × 6 = 48。
6² + 8² = 100 = 10², so △ABC is right with ∠B = 90°. Area = 8 × 6 = 48.
第1题 两个相似三角形的面积比为 16:25，周长比是多少？Two similar triangles have area ratio 16:25. What is their perimeter ratio?
第2题 半径为 6 的圆中，弦长为 6 的弦到圆心的距离是多少？In a circle of radius 6, a chord of length 6 is how far from the center?
第3题 三角形三边为 5, 12, 13，求面积。Find the area of a triangle with sides 5, 12, 13.
第4题 sin 60° × cos 30° 的值是多少？What is sin 60° × cos 30°?
第5题 梯形上底 4、下底 10、高 6，求面积。A trapezoid has bases 4 and 10, height 6. Find the area.
第6题 圆的半径从 3 增大为 6，面积变为原来的多少倍？If a circle's radius doubles from 3 to 6, by what factor does the area increase?
第7题 tan 45° + tan 60° 的值是多少？What is tan 45° + tan 60°?
第8题 直角三角形两直角边为 7 和 24，斜边上的高是多少？A right triangle has legs 7 and 24. Find the altitude to the hypotenuse.