一
初等函数
Elementary Functions
1.1 指数函数与对数函数Exponential & Logarithmic Functions
📐 指数函数定义
y = aˣ (a > 0, a ≠ 1)
底数 a > 0 且 a ≠ 1，定义域为全体实数，值域为 (0, +∞)
📐 对数函数定义
y = logₐx (a > 0, a ≠ 1)
定义域为 (0, +∞)，值域为全体实数，是指数函数的反函数
💡 关键性质：logₐ(b·c) = logₐb + logₐc
logₐ(b/c) = logₐb - logₐc
logₐ(bⁿ) = n·logₐb
logₐ(b/c) = logₐb - logₐc
logₐ(bⁿ) = n·logₐb
- 指数函数 y = aˣ 与对数函数 y = logₐx 互为反函数，图像关于 y = x 对称
- 当 a > 1 时，函数单调递增；当 0 < a < 1 时，函数单调递减
- 自然对数 ln x = logₑx，其中 e ≈ 2.71828
1.2 对数的性质与换底公式Logarithm Properties & Change of Base
🔄 换底公式（Change of Base Formula）
logₐb = log_cb / log_ca = ln b / ln a
常用于将不同底数的对数转换为相同底数
💡 常用推论：
logₐb · logbc = logₐc
logₐⁿbᵐ = (m/n) · logₐb
logₐb · logbc = logₐc
logₐⁿbᵐ = (m/n) · logₐb
- 同底数运算：logₐ(mn) = logₐm + logₐn
- 幂的对数：logₐ(mⁿ) = n · logₐm
- 换底公式的应用：比较不同底数的对数大小，或求特定底数的对数值
1.3 有理函数（渐近线）Rational Functions & Asymptotes
📐 有理函数定义
R(x) = P(x) / Q(x)
其中 P(x)、Q(x) 为多项式，Q(x) ≠ 0
📊 渐近线类型：
垂直渐近线：x = a 当 Q(a) = 0 且 P(a) ≠ 0
水平渐近线：
- 若 deg(P) < deg(Q)，则 y = 0
- 若 deg(P) = deg(Q)，则 y = aₘ/bₙ（最高次系数比）
- 若 deg(P) > deg(Q)，则无水平渐近线
垂直渐近线：x = a 当 Q(a) = 0 且 P(a) ≠ 0
水平渐近线：
- 若 deg(P) < deg(Q)，则 y = 0
- 若 deg(P) = deg(Q)，则 y = aₘ/bₙ（最高次系数比）
- 若 deg(P) > deg(Q)，则无水平渐近线
- 水平渐近线（Horizontal Asymptote）：当 x → ±∞ 时，y 趋近的常数
- 垂直渐近线（Vertical Asymptote）：函数值趋于无穷大的 x 值
- 斜渐近线（Oblique/Slant Asymptote）：当 deg(P) = deg(Q) + 1 时，通过长除法求得
二
函数的性质
Properties of Functions
2.1 单调性与极值Monotonicity & Extrema
📐 单调性定义
f(x₁) < f(x₂) 当 x₁ < x₂ 时，称 f(x) 单调递增（增函数）
类似地，f(x₁) > f(x₂) 时称单调递减（减函数）
💡 求极值的步骤：
1. 求导：f'(x) = 0 求出临界点
2. 判断：使用第一导数测试或第二导数测试
3. 边界：检查端点处的函数值
1. 求导：f'(x) = 0 求出临界点
2. 判断：使用第一导数测试或第二导数测试
3. 边界：检查端点处的函数值
- 导数法：f'(x) > 0 时函数递增，f'(x) < 0 时函数递减
- 极值点：f'(x) = 0 且左右符号改变
- AMC 12 常考：结合不等式考察极值问题
2.2 反函数Inverse Functions
🔄 反函数定义
若 y = f(x)，则 x = f⁻¹(y)
反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域
💡 判定是否为反函数：f(f⁻¹(x)) = x 且 f⁻¹(f(x)) = x
图像特征：原函数与反函数的图像关于 y = x 对称
图像特征：原函数与反函数的图像关于 y = x 对称
- 存在条件：函数必须是一一对应的（单射）才存在反函数
- 单调性：若原函数单调递增/递减，则反函数也单调递增/递减
- 常见反函数对：y = aˣ 与 y = logₐx，y = x³ 与 y = ∛x
2.3 复合函数与迭代Composite Functions & Iteration
🔗 复合函数
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
内层函数 g(x) 的值域必须是外层函数 f 的定义域的子集
⚠️ 注意：复合函数不满足交换律，即 f ∘ g ≠ g ∘ f（一般情况下）
- 结合律：(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)
- 函数迭代：f²(x) = f(f(x))，fⁿ(x) = f(fⁿ⁻¹(x))
- 不动点：满足 f(x) = x 的点称为不动点
- 周期点：满足 fⁿ(x) = x 但 fᵏ(x) ≠ x（k < n）的点
三
函数方程
Functional Equations
3.1 常见函数方程类型Common Types of Functional Equations
| 类型 | 方程形式 | 特点 |
|---|---|---|
| 加法型 | f(x + y) = f(x) + f(y) | 线性/可加函数 |
| 乘法型 | f(xy) = f(x) + f(y) | 对数型函数 |
| 柯西型 | f(x + y) = f(x) + f(y) + c | 仿线性 |
| 对称型 | f(x) + f(y) = f(x + y) | 线性 |
| 乘积型 | f(xy) = f(x) · f(y) | 指数型函数 |
3.2 函数方程的解法Methods for Solving Functional Equations
💡 常用解法策略：
1. 代值法：令 x 或 y 取特殊值（如 0, 1, -1）
2. 换元法：引入新变量简化方程
3. 迭代法：反复利用已知等式
4. 归纳法：从特殊到一般
1. 代值法：令 x 或 y 取特殊值（如 0, 1, -1）
2. 换元法：引入新变量简化方程
3. 迭代法：反复利用已知等式
4. 归纳法：从特殊到一般
- 第一步：确定定义域，通常假设 f: ℝ → ℝ
- 第二步：代入特殊值，如令 x = 0, y = 0 获得初始条件
- 第三步：利用函数性质（单调性、连续性、有界性）证明解的唯一性
- 第四步：验证所求函数满足原方程
3.3 竞赛中常见的函数方程Common Functional Equations in Contests
📝 经典例题形式
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy
解：f(x) = x² + cx（c 为任意常数）
📝 经典例题形式
f(xy) = f(x) + f(y)
解：f(x) = k·log|x|（对数函数）
⚠️ 重要提醒：竞赛中通常假设函数为实数域到实数域的映射，并满足某些正则性条件（如连续性）。若未给出额外条件，需考虑非常数解或构造反例。
四
例题精讲
Solved Examples
💡 例题 1 AMC 12
若 2ˣ = 7，则 x 的值为多少？
If 2ˣ = 7, what is the value of x?
解题思路：
方程 2ˣ = 7 等价于 x = log₂7。直接利用对数定义即可。
The equation 2ˣ = 7 is equivalent to x = log₂7 by the definition of logarithm.
💡 例题 2 AMC 12
log₄8 的值是多少？
What is the value of log₄8?
解题思路：
log₄8 = log₂8 / log₂4 = (log₂2³) / (log₂2²) = 3/2。
Apply change of base formula with base 2.
💡 例题 3 AMC 12
若 f(x) = x + 1/x，g(x) = x² - 1，求 f(g(2))。
If f(x) = x + 1/x and g(x) = x² - 1, find f(g(2)).
解题思路：
先求 g(2) = 2² - 1 = 3，再求 f(3) = 3 + 1/3 = 10/3。
First compute g(2), then substitute into f.
💡 例题 4 AMC 12
已知 f(f(x)) = 9x + 4，且 f 为线性函数，求 f(1)。
If f(f(x)) = 9x + 4 and f is linear, find f(1).
解题思路：
设 f(x) = ax + b，代入得 a² = 9，b(a+1) = 4。解得 f(x) = 3x + 1 或 f(x) = -3x - 2，故 f(1) = 4 或 -2。
Assume f is linear, solve the system of equations.
💡 例题 5 AMC 12
函数 R(x) = x/(x-2) 有几条渐近线？
How many asymptotes does the function R(x) = x/(x-2) have?
解题思路：
垂直渐近线：x = 2；水平渐近线：y = 1（因为分子分母同次数）；斜渐近线：无。所以共有 2 条？但注意：垂直渐近线、水平渐近线各 1 条，共 2 条。Vertical: x = 2. Horizontal: y = 1. Total: 2 asymptotes.
五
巩固练习
Practice Problems
动手练习
练习 1. 若 2ˣ = 7，则 x = ?
If 2ˣ = 7, then x = ?
练习 2. log₉27 的值为？
What is log₉27?
练习 3. 若 f(x) = 2x + 3，求 f⁻¹(6)。
If f(x) = 2x + 3, find f⁻¹(6).
练习 4. R(x) = (x+1)/(x-1) 的水平渐近线是？
What is the horizontal asymptote of R(x) = (x+1)/(x-1)?
练习 5. 设 f(x) + f(1-x) = x，求 f(0)。
If f(x) + f(1-x) = x, find f(0).
练习 6. 若函数 f 满足 f(xy) = f(x) + f(y)，且 f(2) = 1，则 f(8) = ?
If f(xy) = f(x) + f(y) and f(2) = 1, find f(8).