✏️ 一元一次方程

Linear Equations in One Variable

一元一次方程是 AMC 8 代数模块的核心考点，也是AMC应用题的主要数学模型。掌握方程的解法，以及将实际问题转化为方程的能力，是 AMC 竞赛的关键技能。

📚 4 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：基础⏱ 约35分钟

方程的基本概念 Basic Concepts

基础AMC高频

1.1 等式、未知数、解 Equation, Unknown, Solution

方程（equation）：含有未知数的等式。如 2x + 3 = 7。

An equation is a statement that two expressions are equal. It contains an unknown (variable).

一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的方程。

A linear equation in one variable: one unknown, highest power = 1. General form: ax + b = 0 (a ≠ 0).

📝 一元一次方程的标准形式

ax + b = 0 (a ≠ 0)

解为 x = −b/a

一元一次方程的解法 Solving Linear Equations

基础AMC高频

解方程的步骤 Steps to Solve

去括号：若有括号，先用分配律展开
移项：将含未知数的项移到一边，常数项移到另一边（移项要变号）
合并同类项：将同类项合并化简
系数化为1：两边同除以未知数的系数

📝 解方程示例

解：3(x − 2) + 5 = 2x + 7

去括号：3x − 6 + 5 = 2x + 7 → 3x − 1 = 2x + 7

移项：3x − 2x = 7 + 1 → x = 8 ✓

💡 邓老师提示：解方程的关键原则是等式两边同时进行相同的运算，等式仍然成立。移项的本质是两边同时加减一个数。

一元一次方程的应用 Applications

中等AMC高频

3.1 年龄问题 Age Problems

年龄问题的核心：两个人的年龄差是恒定的（不随时间改变）。

In age problems, the age difference between two people remains constant.

📝 年龄问题模型

设现在年龄：小明 x 岁，爸爸 y 岁
n年前：小明 x−n 岁，爸爸 y−n 岁
年龄差始终 = y−x

3.2 数字问题 Digit Problems

三位数 abc = 100a + 10b + c；两位数 ab = 10a + b

For a three-digit number abc: value = 100a + 10b + c. For two-digit ab: value = 10a + b.

3.3 利润问题 Profit Problems

利润 = 售价 − 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%

Profit = selling price − cost price. Profit rate = profit ÷ cost price × 100%.

例题精讲 Worked Examples

5 题含历年真题

📌 例题 1 AMC 8 常考题型

解方程：2x + 5 = 17Solve: 2x + 5 = 17

解题思路

移项：2x = 17 − 5 = 12
两边除以2：x = 12 ÷ 2 = 6
2x = 17 − 5 = 12. Divide by 2: x = 6.

📌 例题 2 去括号方程

解方程：3(x − 2) − 2(x + 1) = 7Solve: 3(x − 2) − 2(x + 1) = 7

解题思路：先去括号，再移项合并

去括号：3x − 6 − 2x − 2 = 7
合并：(3x − 2x) + (−6 − 2) = 7 → x − 8 = 7
移项：x = 7 + 8 = 15
3x−6−2x−2=7 → x−8=7 → x=15.

📌 例题 3 年龄问题

小明今年12岁，爸爸今年38岁。多少年后爸爸的年龄是小明的2倍？Xiao Ming is 12, and his dad is 38. In how many years will the dad be twice Xiao Ming's age?

解题思路

设 x 年后，爸爸年龄是小明的2倍：
38 + x = 2(12 + x)
38 + x = 24 + 2x
移项：38 − 24 = 2x − x → 14 = x
14年后。
38+x = 2(12+x) → 38+x=24+2x → x=14 years.

📌 例题 4 分数方程

解方程：x/3 + x/6 = 4Solve: x/3 + x/6 = 4

解题思路：先通分，再合并

lcm(3,6) = 6
x/3 + x/6 = 2x/6 + x/6 = 3x/6 = x/2 = 4
x = 4 × 2 = 8
LCM(3,6)=6. x/3+x/6 = 2x/6+x/6 = 3x/6 = x/2. So x/2=4 → x=8.

📌 例题 5 数字问题

一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大3。如果把十位和个位交换，新数比原数大27。求原数。A two-digit number has its tens digit 3 more than its units digit. If the digits are swapped, the new number is 27 more than the original. Find the original number.

解题思路

设个位为 x，则十位为 x+3，原数 = 10(x+3) + x = 11x+30
交换后：10x + (x+3) = 11x+3
新数比原数小27：(11x+30) − (11x+3) = 27 → 27 = 27 ✓
解得 x = 1，原数 = 10×(1+3) + 1 = 41
Let unit digit = x, tens digit = x+3. Original = 10(x+3)+x = 11x+30. Swapped = 10x+x+3 = 11x+3. Original − Swapped = 27 → x = 1. Original = 41.

巩固练习 Practice Problems

8 题提交即判

第1题解方程：5x − 3 = 2x + 9Solve: 5x − 3 = 2x + 9

第2题解方程：4(x − 1) = 3x + 2Solve: 4(x − 1) = 3x + 2

第3题小明有18元，小红有12元。小明每天存3元，小红每天存5元。几天后两人钱数相等？Xiao Ming has 18 yuan, Xiao Hong has 12 yuan. Xiao Ming saves 3 yuan/day, Xiao Hong saves 5 yuan/day. After how many days will they have the same amount?

第4题解方程：(x+2)/3 = 5Solve: (x+2)/3 = 5

第5题某商品进价40元，利润率25%，售价是多少？An item costs 40 yuan with a 25% profit rate. What is the selling price?

第6题解方程：2(3x + 1) − 4(x − 2) = 10Solve: 2(3x + 1) − 4(x − 2) = 10

第7题兄妹俩今年年龄和为20岁，5年后哥哥比妹妹大4岁。妹妹今年几岁？Brother and sister are 20 years old combined this year. In 5 years, the brother will be 4 years older than the sister. How old is the sister now?

第8题三个连续偶数的和是54，这三个数中最大的一个是多少？The sum of three consecutive even integers is 54. What is the largest of the three?

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