⚖️ 比例应用

1.1 什么是比 What Is a Ratio?

比（Ratio）表示两个量之间的倍数关系。a : b 读作"a 比 b"，表示 a 是 b 的 a/b 倍。

A ratio compares two quantities by division. a : b means a is a/b times b.

举例：班级里男生12人，女生18人。

• 男生与女生的比 = 12 : 18 = 2 : 3（化简）
• 女生与男生的比 = 18 : 12 = 3 : 2
• 男生与总人数的比 = 12 : 30 = 2 : 5

1.2 比的性质 Properties of Ratios

比有以下重要性质：

• 比的前项和后项同时乘或除以同一个非零数，比值不变。（类似分数的基本性质）
• 比可以化简：找出前项和后项的最大公因数（GCD），同时除以 GCD。
• 比的顺序很重要：a : b ≠ b : a（除非 a = b）。

2.1 比例的基本性质 Properties of Proportions

比例（Proportion）是两个比相等的关系式：a : b = c : d。

A proportion states that two ratios are equal: a : b = c : d.

举例：解比例 3 : x = 4 : 12

• 交叉相乘：3 × 12 = 4 × x → 36 = 4x → x = 9

举例：解比例 x : 5 = 6 : 15

• 交叉相乘：15x = 5 × 6 = 30 → x = 2

2.2 正比例与反比例 Direct & Inverse Proportion

正比例（Direct Proportion）：两个量 y 和 x 满足 y = kx（k 为常数），则 y 与 x 成正比例。x 增大，y 也增大。

y = kx: y is directly proportional to x. As x increases, y increases.

反比例（Inverse Proportion）：两个量 y 和 x 满足 y = k/x（k 为常数），则 y 与 x 成反比例。x 增大，y 减小。

y = k/x: y is inversely proportional to x. As x increases, y decreases.

3.1 按比例分配 Dividing in a Given Ratio

已知一个总量和各部分的比，求各部分的值：

举例：把 60 本书按 2 : 3 分给甲和乙。

• 总份数 = 2 + 3 = 5
• 甲分得：60 × (2/5) = 24本
• 乙分得：60 × (3/5) = 36本

3.2 比例尺与地图 Scale & Maps

比例尺（Scale）表示图上距离与实际距离的比：

举例：地图比例尺为 1 : 50000，图上 2cm 对应实际多远？

• 实际距离 = 2 × 50000 = 100000 cm = 1 km

相似图形的比例：两个相似图形的对应边之比相等，面积之比等于边长之比的平方，体积之比等于边长之比的立方。