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🎯 概率与期望

Probability and Expected Value

条件概率、Bayes 定理、期望的线性性、二项分布与几何分布是 AMC 12 的概率核心。相比 AMC 10，这里引入了更深的概率推理与期望计算工具。

📚 3 章节 💡 5 道例题 ✏️ 6 道练习 🎯 难度：高 ⏱ 约55分钟
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概率进阶 Advanced Probability
AMC 12 新增高频

1.1 条件概率 Conditional Probability

在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率称为条件概率：

📝 条件概率公式 / Conditional Probability Formula
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)    (P(B) > 0)
读作"在 B 发生的条件下 A 的概率"
The probability of A given that B has occurred.

等价变形——乘法公式：

📝 乘法公式 / Multiplication Rule
P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) = P(B) · P(A | B)
两个事件同时发生的概率等于其中一个的概率乘以另一个在其条件下的概率
💡 邓老师提示：做条件概率题目时，先画一个 2×2 的概率表格（树状图也行），把 P(A)、P(B)、P(A∩B)、P(A'∩B) 等全部列出来，答案往往就是表格中的一格除以一行或一列。
Draw a probability table or tree diagram first. Then conditional probability is just a simple division!

相互独立：若 P(A | B) = P(A)，即 B 的发生不影响 A，则 A 与 B 相互独立：

📝 独立性 / Independence
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
A 与 B 独立 ⟺ P(A∩B) = P(A)P(B)

1.2 Bayes 定理 Bayes' Theorem

Bayes 定理是条件概率的"反转"公式——已知 P(B|A) 求 P(A|B)：

📝 Bayes 定理 / Bayes' Theorem
P(A | B) = P(A) · P(B | A) / P(B)
= P(先验) × 似然 / 全概率
Used to "reverse" conditional probability when we know P(B|A) but need P(A|B).

全概率公式（分母展开）：

📝 全概率公式 / Law of Total Probability
P(B) = P(A)·P(B|A) + P(A')·P(B|A')
当 B 只能与互斥的 A 或 A' 同时发生时使用
⚠️ 注意：Bayes 定理中分子是 P(A∩B)，分母是 P(B)。容易把分子写错——一定要先写"原因 A"的先验概率，再乘以在这个原因下观察到 B 的似然度。
The numerator is always P(A∩B) = P(A)·P(B|A). Don't forget the prior P(A) in the numerator!
💡 邓老师提示：Bayes 定理在 AMC 12 中常见于"检测问题"（如疾病检测、毒品测试）。典型结构：先给出总体发病率（先验），再给出检测的准确率（似然），问已知检测阳性时真正患病的概率。

1.3 几何概率 Geometric Probability

当试验结果可以用几何区域（长度、面积、体积）表示时，概率等于"目标区域"与"总区域"的比值：

📝 几何概率 / Geometric Probability
P = 目标区域面积 / 总区域面积
一维：P = 区间长度比；二维：P = 面积比；三维：P = 体积比
Probability equals the ratio of the favorable region to the total region.

常见题型：

  • 在单位正方形内随机取点，求点落在某个区域内的概率
  • 两根木棒随机折断，拼成三角形的概率
  • 区间内随机取两个数，满足某不等式的概率
💡 邓老师提示：几何概率的关键是画图！把变量 x 和 y 的取值范围画成坐标系中的一个矩形或正方形，目标条件对应一个子区域，求面积比即可。注意边界是否包含要小心（测度为零，概率相同）。
For geometric probability, always sketch the region first! The probability is just an area ratio.
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期望与方差 Expectation and Variance
AMC 12 核心高频

2.1 离散随机变量的期望 Expected Value of a Discrete Random Variable

期望是随机变量所有可能取值的加权平均：

📝 期望公式 / Expected Value Formula
E(X) = Σ xᵢ · P(X = xᵢ)
每个取值乘以其概率后求和
The weighted average of all possible values, weighted by their probabilities.

期望的基本性质：

  • E(c) = c（常数的期望是常数本身）
  • E(cX) = c · E(X)
  • E(X + Y) = E(X) + E(Y)（一般情况均成立，即期望的线性性）
💡 邓老师提示：期望的线性性 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 不需要 X 与 Y 独立！即使 X 与 Y 高度相关，期望仍然可加。这个性质是 AMC 12 概率题的秘密武器。

2.2 期望的线性性 Linearity of Expectation

这是 AMC 12 概率题最重要的工具之一：

📝 线性性 / Linearity of Expectation
E(X₁ + X₂ + … + Xₙ) = E(X₁) + E(X₂) + … + E(Xₙ)
对任意随机变量均成立，无需独立性条件
Always holds, even without independence. This is the key to hard AMC 12 probability problems.

典型应用：求随机过程的总收益（如抽奖游戏、竞赛得分）。把总结果拆成多个独立小额结果的叠加，分别求期望再相加。

indicator 变量法（示性函数）：

📝 示性变量 / Indicator Variable
I_A = 1（若 A 发生）否则 0   →   E(I_A) = P(A)
把复杂事件的期望转化为多个简单事件概率之和
💡 邓老师提示：当一道题让你求"随机变量之和的期望"时，直接拆！例如：100个人中选3人，求选中的3人的年龄之和的期望 → 每个人被选中的概率是 3/100，期望年龄 = P(被选中)×年龄，然后求和 = 3 × 平均年龄。

2.3 方差 Variance

方差衡量随机变量的离散程度：

📝 方差公式 / Variance Formula
Var(X) = E[(X − E(X))²] = E(X²) − [E(X)]²
方差 = 平方的期望 − 期望的平方
The average squared deviation from the mean.

方差的性质：

  • Var(c) = 0（常数的方差为 0）
  • Var(cX) = c² · Var(X)
  • 注意：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)，若 X、Y 不独立，不能简单相加！
  • 若 X、Y 独立：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
⚠️ 注意：方差没有线性性！E(X+Y) = E(X)+E(Y)（永远成立），但 Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)（只在独立时成立）。这是 AMC 12 常见的陷阱题。
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概率分布 Probability Distributions
AMC 12 必考高频

3.1 二项分布 Binomial Distribution

n 次独立重复试验，每次成功概率为 p，X 为成功次数，则 X ~ B(n, p)：

📝 二项分布 / Binomial Distribution
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1−p)^(n−k)
k = 0, 1, 2, …, n
The probability of exactly k successes in n independent trials.

期望与方差：

📝 二项分布的数字特征
E(X) = n · p     Var(X) = n · p · (1 − p)

在 AMC 12 中的常见用法：

  • 用期望公式 E(X)=np 直接求期望（无需算分布列）
  • 求"至少有一个成功"的概率：P(X≥1) = 1 − P(X=0) = 1 − (1−p)ⁿ
  • 比较不同 p 下的方差：p=0.5 时方差最大（最"不确定"）

3.2 几何分布 Geometric Distribution

独立重复试验，每次成功概率为 p，X 为首次成功所需的试验次数，则 X ~ Geo(p)：

📝 几何分布 / Geometric Distribution
P(X = k) = (1 − p)^(k−1) · p     (k = 1, 2, 3, …)
The probability that the first success occurs on the k-th trial.

期望与方差：

📝 几何分布的数字特征
E(X) = 1/p     Var(X) = (1 − p) / p²
💡 邓老师提示："平均需要多少次才能成功" → 期望 = 1/p。比如每次成功率 20%，平均需要 5 次才能成功。

3.3 概率递推 Recurrence Relations in Probability

对于某些概率问题，设 Pₙ 为第 n 步达到目标的概率，建立递推关系：

📝 递推法 / Recurrence Method
Pₙ = a · Pₙ₋₁ + b · Pₙ₋₂ + …
将问题分解为：从当前状态出发，下一步的各种情况

典型递推结构：

  • 掷骰子/硬币问题：每一步后，状态转移概率已知
  • 路径计数：每步只能向右或向上，求走到某点的概率
  • 等待时间问题：几何分布本质也是递推 P(X>n) = (1−p)ⁿ

求解递推：

  • 列出前几项找规律（适用于简单递推）
  • 特征方程法（适用于线性齐次递推）
  • 期望递推法：Eₙ = 1 + Σ pᵢ · E_{next(i)}（适用于求期望值）
💡 邓老师提示：AMC 12 中有一类经典题："某人在 A 地，要走到 B 地，每步有概率向左/右，求最终到达 B 地的概率"。这类题的解法是：设 P(在 i 点时最终到达 B 的概率) = Pᵢ，列出递推方程，解方程即可。
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例题精讲 Worked Examples
5 题含历年真题
📌 例题 1 条件概率

某班有 60% 的学生喜欢数学，55% 喜欢物理，既喜欢数学又喜欢物理的有 40%。随机选一名学生，已知他喜欢物理，他喜欢数学的概率是多少？ 60% of students like Math, 55% like Physics, and 40% like both. A randomly selected student likes Physics. What's the probability they also like Math?

解题思路：条件概率公式
P(M|P) = P(M∩P) / P(P) = 0.40 / 0.55 = 40/55 = 8/11。
代入公式：P(M|P) = 0.4/0.55 = 8/11。
P(M|P) = P(M∩P)/P(P) = 0.40/0.55 = 40/55 = 8/11.
📌 例题 2 Bayes 定理

某种疾病在人群中的发病率为 1%。已知患病者检测呈阳性的概率为 99%，未患病者检测呈阳性的概率为 5%。若某人检测呈阳性，他真正患病的概率是多少？ A disease affects 1% of the population. A test gives a positive result for 99% of those with the disease and 5% false positives. Given a positive test result, what's the probability the person is actually sick?

解题思路：Bayes 定理
令 D = 患病，P(D)=0.01；T⁺ = 检测阳性。
P(D|T⁺) = P(D)·P(T⁺|D) / P(T⁺)
P(T⁺) = P(D)·P(T⁺|D) + P(D')·P(T⁺|D') = 0.01×0.99 + 0.99×0.05 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594
所以 P(D|T⁺) = 0.01×0.99 / 0.0594 = 0.0099/0.0594 = 99/594 ≈ 16.7%。
P(D|T⁺) = (0.01×0.99) / (0.01×0.99 + 0.99×0.05) = 99/594 ≈ 16.7%. Surprisingly low!
📌 例题 3 期望的线性性

某游戏：同时抛 5 枚均匀硬币，记 X 为正面朝上的硬币数量，求 E(X)。 Five fair coins are tossed simultaneously. Let X be the number of heads. Find E(X).

解题思路：期望的线性性（最简方法）
设 Xᵢ 为第 i 枚硬币正面朝上的数量（0 或 1），则 X = X₁+X₂+X₃+X₄+X₅。
每枚硬币 P(Xᵢ=1) = 1/2，所以 E(Xᵢ) = 1/2。
E(X) = E(X₁)+…+E(X₅) = 5 × (1/2) = 2.5。
Let Xᵢ indicate if coin i is heads. E(Xᵢ)=1/2, so E(X)=5×(1/2)=2.5 by linearity.
📌 例题 4 几何分布

每次投篮命中率为 25%，假设每次投篮相互独立。求平均需要多少次投篮才能首次命中（期望值）。 A basketball player has a 25% success rate per shot. Shots are independent. On average, how many shots are needed to make the first basket?

解题思路：几何分布的期望
这服从几何分布 Geo(p=0.25)，首次成功的期望为 E(X) = 1/p = 1/0.25 = 4。
平均需要 4 次投篮才能首次命中。
This is a geometric distribution with p=0.25. E(X) = 1/p = 4 shots on average.
📌 例题 5 几何概率

在区间 [0, 2] 内随机取两个数 x 和 y，求以 x 和 y 为边长的矩形面积小于 1 的概率。 Two numbers x and y are chosen uniformly at random from [0, 2]. What is the probability that the rectangle with sides x and y has area less than 1?

解题思路：几何概率 — 面积比
全部可能：(x, y) 在正方形 [0,2]×[0,2]，面积 = 4。
目标条件：xy < 1，即 y < 1/x。
在 [0,2]×[0,2] 中，满足 xy < 1 的区域分为两部分：
① 0 ≤ x ≤ 1：y < 1/x（y < 1），面积 = 1×1 = 1
② 1 < x ≤ 2：y < 1/x，定积分 ∫₁² (1/x) dx = ln 2
目标面积 = 1 + ln 2 ≈ 1 + 0.693 = 1.693
概率 = (1+ln 2)/4 ≠ 简单分数，选 B：1/2 + ln(1/2)（化简后等价于 (1+ln 2)/4）。
Total area = 4. Favorable area = ∫₀¹ 1 dx + ∫₁² (1/x) dx = 1 + ln 2. P = (1+ln 2)/4.
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巩固练习 Practice Problems
6 题提交即判

第1题 某班有 50 名学生，其中 30 名参加数学竞赛，25 名参加物理竞赛，15 名两科都参加。随机选一名学生，已知他参加了数学竞赛，他没参加物理竞赛的概率是多少？ In a class of 50 students, 30 take Math, 25 take Physics, and 15 take both. A student takes Math. What's the probability they don't take Physics?

第2题 盒中有 3 个红球和 2 个蓝球，无放回地依次取出两个球。已知第一个球是红球，第二个球是蓝球的概率是多少？ A box has 3 red and 2 blue balls. Balls are drawn without replacement. Given the first ball is red, what's the probability the second is blue?

第3题 某次考试有 10 道选择题，每题有 4 个选项，随机作答。求恰好答对 3 题的概率。 A multiple-choice exam has 10 questions, each with 4 options. A student guesses randomly. What's the probability of getting exactly 3 correct?

第4题 某抽奖游戏：每次抽奖有 20% 的概率获奖（独立重复），平均需要抽多少次才能首次获奖？ A lottery has a 20% win rate per ticket (independent). On average, how many tickets must be bought for the first win?

第5题 连续投掷一枚均匀硬币 6 次，记正面出现的次数为 X。求 X 的方差 Var(X)。 A fair coin is tossed 6 times. Let X be the number of heads. Find Var(X).

第6题 在单位正方形 [0,1]×[0,1] 中随机取一点 (x, y)，求 x + y < 1/2 的概率。 A point (x, y) is chosen uniformly in the unit square [0,1]×[0,1]. Find P(x + y < 1/2).

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