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📊 不等式

Inequalities

不等式是 AMC 8 代数模块的重要组成部分，也是实际生活中（如范围估计、最值问题）最常用的数学工具。掌握不等式的性质和解法，是AMC竞赛代数部分的必备技能。

📚 4 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：基础⏱ 约30分钟
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不等式的基本概念 Basic Concepts
基础AMC高频

1.1 不等号与解集 Inequality Symbols and Solution Sets

不等式用不等号连接，常见的六种不等号：

📝 六种不等号
＞ 大于  ＜ 小于  ≥ 大于或等于（不小于） ≤ 小于或等于（不大于） ≠ 不等于
> greater than  < less than  ≥ greater than or equal  ≤ less than or equal  ≠ not equal

解集：满足不等式的所有解组成的集合，叫做不等式的解集。

The solution set is the set of all values that satisfy the inequality.

💡 邓老师提示：AMC 8 中的不等式以一元一次不等式为主，牢记移项要变号和乘以负数要变号这两条核心规则。
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一元一次不等式的解法 Solving Linear Inequalities
基础AMC高频

不等式性质与解法 Properties and Solution Steps

解一元一次不等式的方法与解方程类似，但有一条关键区别：

⚠️ 关键区别：乘以负数要变号！
当不等式两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号方向必须改变。
When multiplying or dividing both sides of an inequality by a negative number, the inequality sign must be reversed.
📝 不等式性质
① 若 a > b，则 a + c > b + c（两边加同一个数，不等号方向不变）
② 若 a > b，c > 0，则 ac > bc（两边乘正数，不变号）
③ 若 a > b，c < 0，则 ac < bc（两边乘负数，变号）
📝 解不等式示例
解：3x − 5 < 7
移项：3x < 7 + 5 = 12
两边除以3（正数，不变号）：x < 4
解集：{x | x < 4}，在数轴上表示为 4 左边的所有点（不包括4）
📝 乘以负数的例子
解：−2x + 3 > 7
移项：−2x > 7 − 3 = 4
两边除以 −2（负数，变号）：x < −2 ✓
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不等式的应用 Applications of Inequalities
中等AMC高频

3.1 范围估计 Range Estimation

不等式可以用于描述一个量的可能范围。

Inequalities describe the possible range of a quantity.

📝 应用示例：某班平均分在70到85之间
设班级总分为 S，人数为 n = 30
70 < 平均分 < 85
70 < S/30 < 85
两边乘30：2100 < S < 2550

3.2 最值问题 Optimization Problems

在 AMC 中经常出现"在某种约束下求最大值或最小值"的问题。

AMC frequently asks for the maximum or minimum value under certain constraints.

📝 典型最值问题
若 x + y = 10，且 x, y 为正数，则 xy 的最大值？
由基本不等式：x + y ≥ 2√(xy) → √(xy) ≤ (x+y)/2 = 5
xy ≤ 25，等号在 x = y = 5 时成立。
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例题精讲 Worked Examples
5 题含历年真题
📌 例题 1 AMC 8 常考题型

解不等式：3x − 4 > 8Solve: 3x − 4 > 8

解题思路
移项：3x > 8 + 4 = 12
两边除以3（正数，不变号）：x > 4
3x > 12. Divide by 3 (positive, no sign change): x > 4.
📌 例题 2 乘负数变号

解不等式：−2x + 5 ≥ 1Solve: −2x + 5 ≥ 1

解题思路：注意乘以负数要变号！
移项：−2x ≥ 1 − 5 = −4
两边除以 −2（负数，变号）：x ≤ (−4) ÷ (−2) = 2
−2x ≥ −4. Divide by −2 (negative, flip sign): x ≤ 2.
📌 例题 3 范围估计

x 是整数，且 3 < 2x − 1 < 11，x 可以取哪些值？x is an integer and 3 < 2x − 1 < 11. What integer values can x take?

解题思路：两边同时加1、除以2
3 < 2x − 1 < 11
加1：4 < 2x < 12
除以2（正数，不变号）：2 < x < 6
x 为整数 → x = 3, 4, 5（3个值）
3 < 2x−1 < 11 → add 1: 4 < 2x < 12 → divide by 2: 2 < x < 6. Integer solutions: x = 3, 4, 5.
📌 例题 4 不等式与实际问题

小明有不超过50元，每本书12元。他最多能买几本书？Xiao Ming has at most 50 yuan. Each book costs 12 yuan. What is the maximum number of books he can buy?

解题思路
设买 x 本书：12x ≤ 50
x ≤ 50/12 ≈ 4.17
x 为整数且 ≥ 1，最大为 4 本。
12x ≤ 50 → x ≤ 4.17. Integer x: maximum = 4 books.
📌 例题 5 不等式性质综合

若 a > b，则下列哪个必定成立？If a > b, which of the following must be true?

解题思路：逐一检验
A：a² > b²？反例：a=1, b=−2 → a>b但a²=1<4=b² ✗
B：a−b > 0？a > b 等价于 a−b > 0 ✓（这其实是不等式的基本定义）
C：a > 2b？反例：a=3, b=2 → a>b但3<4=2b ✗
D：a³ > b³？若a,b同正，则成立；但a=−1,b=−2 → a>b但(−1)³=−1<(−2)³=−8 ✗
唯一必定成立的是 B（a−b>0）。
Only B is always true: a > b ⟺ a − b > 0. A fails with a=1,b=−2; C fails with a=3,b=2; D fails with a=−1,b=−2.
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巩固练习 Practice Problems
8 题提交即判

第1题 解不等式：4x + 3 < 2x + 11Solve: 4x + 3 < 2x + 11

第2题 解不等式：5 − 3x ≤ 2Solve: 5 − 3x ≤ 2

第3题 x 满足 −2 < x ≤ 5，x 可以取几个整数值？x satisfies −2 < x ≤ 5. How many integer values can x take?

第4题 某种出租车起价10元，之后每公里2.5元。某人付了不超过30元，他最多乘坐了多少公里？A taxi charges 10 yuan base fare, then 2.5 yuan per km. Someone paid no more than 30 yuan. What is the maximum distance?

第5题 解不等式：x/2 − 1 ≥ 3Solve: x/2 − 1 ≥ 3

第6题 若 a > b > 0，则下列哪个必定成立？If a > b > 0, which must be true?

第7题 解不等式：2(3x − 1) > 4x + 6Solve: 2(3x − 1) > 4x + 6

第8题 某班学生身高都在150cm到180cm之间（含端点），身高160cm以下的学生至少占全班的几分之几？Students' heights are between 150 cm and 180 cm (inclusive). At least what fraction of the class is shorter than 160 cm?

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