🔢 代数方程与函数

Algebra Equations and Functions

一元二次方程、韦达定理、绝对值、函数图像与变换、方程组是 AMC 10 的核心代数考点，几乎每份试卷都会出现。掌握这些工具能帮你快速解决大量题目。

📚 4 章节 💡 5 道例题 ✏️ 8 道练习 🎯 难度：中等 ⏱ 约40分钟

一元二次方程 Quadratic Equations

必考高频

1.1 标准形式与求根公式 Standard Form and the Quadratic Formula

一元二次方程的标准形式为：

📝 标准形式 / Standard Form

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

求根公式可以直接给出方程的解：

📝 求根公式 / Quadratic Formula

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

This formula gives both solutions of any quadratic equation.

💡 邓老师提示：AMC 10 中，能用因式分解直接求解的方程优先因式分解。求根公式是万能方法，但计算量较大，适合"最后的手段"。
Factor first when possible. Use the quadratic formula as a last resort — it always works but takes more computation.

1.2 判别式 The Discriminant

判别式 Δ = b² − 4ac 决定了方程根的个数和性质：

Δ 的值	根的情况	Roots
Δ > 0	两个不相等的实数根	Two distinct real roots
Δ = 0	两个相等的实数根（重根）	One repeated real root
Δ < 0	无实数根	No real roots

💡 邓老师提示：判别式常用于 AMC 10 中的"方程有实根"条件判断题。注意 Δ = 0 时方程有一个根（二重根），不要答成"没有根"。

1.3 韦达定理 Vieta's Formulas

若一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的两个根为 x₁ 和 x₂，则：

📝 韦达定理 / Vieta's Formulas

x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a

The sum and product of roots are determined by the coefficients alone.

常用推论：

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂
(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ − 3x₁x₂(x₁ + x₂)

💡 邓老师提示：韦达定理是 AMC 10 的超高频考点！常见考法是给你方程或两根之和/积，让你求某个表达式（如 x₁²+x₂²、|x₁−x₂| 等）的值。把上面的推论背下来，考试直接用！

绝对值方程与不等式 Absolute Value Equations & Inequalities

中等高频

2.1 绝对值方程 Absolute Value Equations

📝 核心方法 / Key Method

|ax + b| = c

当 c ≥ 0 时：ax + b = c 或 ax + b = −c

当 c < 0 时：无解

分段讨论法：含多个绝对值的方程，找到每个绝对值表达式的零点，将数轴分段讨论。

For equations with multiple absolute values, find the zero of each expression and discuss case by case on intervals.

📝 绝对值的性质 / Properties of |x|

|a + b| ≤ |a| + |b| （三角不等式 Triangle Inequality）

|a · b| = |a| · |b|

|a − b| = |b − a|

2.2 绝对值不等式 Absolute Value Inequalities

不等式	等价形式	Equivalent
\|x\| < a (a > 0)	−a < x < a	x is between −a and a
\|x\| > a (a > 0)	x < −a 或 x > a	x is outside [−a, a]
\|x\| ≤ a	−a ≤ x ≤ a	x ∈ [−a, a]
\|x\| ≥ a	x ≤ −a 或 x ≥ a	x ∈ (−∞, −a] ∪ [a, ∞)

⚠️ 注意："小于"取交集（中间），"大于"取并集（两边）。这是最易出错的地方！
"Less than" → intersection (between). "Greater than" → union (outside). This is the most common mistake!

函数基础 Functions

基础必考

3.1 定义域与值域 Domain and Range

定义域是使函数有意义的所有输入值。

The domain is the set of all valid input values.

分式函数：分母 ≠ 0
偶次根式：被开方数 ≥ 0
对数函数：真数 > 0

值域是函数所有可能的输出值集合。

The range is the set of all possible output values.

3.2 二次函数图像 Graphing Quadratic Functions

📝 二次函数 / Quadratic Function

y = a(x − h)² + k

顶点 (h, k)；对称轴 x = h；a > 0 开口向上，a < 0 开口向下

Vertex at (h, k); axis of symmetry x = h; a > 0 opens up, a < 0 opens down.

顶点坐标公式（一般式 y = ax² + bx + c）：

📝 顶点公式 / Vertex Formula

顶点 x 坐标 = −b/(2a)，y 坐标 = c − b²/(4a)

与 x 轴交点：令 y = 0，解 ax² + bx + c = 0（即求根）。

3.3 函数变换 Function Transformations

对于函数 y = f(x)，以下变换规则必须掌握：

变换	效果	Effect
f(x) + k	图像上移 k 个单位	Shift up by k
f(x) − k	图像下移 k 个单位	Shift down by k
f(x + h)	图像左移 h 个单位	Shift left by h
f(x − h)	图像右移 h 个单位	Shift right by h
−f(x)	关于 x 轴对称	Reflect over x-axis
f(−x)	关于 y 轴对称	Reflect over y-axis
af(x) (a>1)	纵向拉伸 a 倍	Vertical stretch by a
f(ax) (a>1)	横向压缩为 1/a	Horizontal compression by 1/a

💡 邓老师提示："左加右减"是关于 x 的操作，"上加下减"是整体加减。记住口诀：对 x 操作左右反，对整体操作上下同。

方程组 Systems of Equations

中等高频

4.1 基本解法 Basic Methods

代入消元法：从一个方程中解出一个变量，代入另一个方程。

Substitution: Solve for one variable in one equation, then substitute into the other.

加减消元法：通过将方程乘以适当常数，使某一变量系数相同或相反，然后加减消去。

Elimination: Multiply equations so that one variable has the same (or opposite) coefficient, then add/subtract.

4.2 AMC 10 中的特殊技巧 Special Techniques for AMC 10

对称方程组：若方程组中 x 和 y 的地位对称，可设 S = x+y，P = xy，用韦达定理转化为求 S 和 P。

整体代换：不求单个变量，直接求所需的表达式。比如求 x+y 时，将方程相加即可。

含参方程组：参数方程组通常需要讨论参数取不同值时方程组解的情况（唯一解、无穷解、无解）。

💡 邓老师提示：AMC 10 中很少要求你求出 x 和 y 的具体值，更常见的是求 x+y、xy、x²+y² 这样的表达式。善用整体思维！

例题精讲 Worked Examples

5 题含历年真题

📌 例题 1 韦达定理

若一元二次方程 x² − 5x + 6 = 0 的两根为 x₁ 和 x₂，求 x₁² + x₂² 的值。 If the roots of x² − 5x + 6 = 0 are x₁ and x₂, find x₁² + x₂².

解题思路：韦达定理

由韦达定理：x₁ + x₂ = 5，x₁ · x₂ = 6。
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 12 = 13。
By Vieta's: x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 6. So x₁² + x₂² = 5² − 2(6) = 25 − 12 = 13.

📌 例题 2 绝对值方程

若 |2x − 3| = 7，则 x 的所有可能值之和是多少？ If |2x − 3| = 7, what is the sum of all possible values of x?

解题思路：分两种情况

情况一：2x − 3 = 7，x = 5
情况二：2x − 3 = −7，x = −2
所有值之和 = 5 + (−2) = 3。
Case 1: 2x − 3 = 7 → x = 5. Case 2: 2x − 3 = −7 → x = −2. Sum = 5 + (−2) = 3.

📌 例题 3 韦达定理·进阶

已知 x₁ + x₂ = 7，x₁ · x₂ = 10，求 |x₁ − x₂| 的值。 If x₁ + x₂ = 7 and x₁ · x₂ = 10, find |x₁ − x₂|.

解题思路：韦达定理推论

(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 49 − 40 = 9
|x₁ − x₂| = √9 = 3。
(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 49 − 40 = 9. So |x₁ − x₂| = √9 = 3.

📌 例题 4 二次函数

二次函数 y = x² − 4x + 3 的图像与 x 轴的交点坐标是什么？ What are the x-intercepts of the graph of y = x² − 4x + 3?

解题思路：因式分解

令 y = 0：x² − 4x + 3 = 0
因式分解：(x − 1)(x − 3) = 0
x = 1 或 x = 3
所以交点为 (1, 0) 和 (3, 0)。
Set y = 0 and factor: (x−1)(x−3) = 0, so x = 1 or x = 3. Intercepts: (1, 0) and (3, 0).

📌 例题 5 复合函数

若 f(x) = 2x + 1，则 f(f(f(1))) 的值是多少？ If f(x) = 2x + 1, what is f(f(f(1)))?

解题思路：逐步代入

f(1) = 2(1) + 1 = 3
f(f(1)) = f(3) = 2(3) + 1 = 7
f(f(f(1))) = f(7) = 2(7) + 1 = 15
f(1) = 3, f(3) = 7, f(7) = 15. So f(f(f(1))) = 15.

巩固练习 Practice Problems

8 题提交即判

第1题方程 x² − 8x + 15 = 0 的两根之差的绝对值是多少？ What is |x₁ − x₂| for the equation x² − 8x + 15 = 0?

第2题若 |x − 4| = 3，则 x 的所有可能值之积是多少？ If |x − 4| = 3, what is the product of all possible values of x?

第3题若 x₁ + x₂ = 10 且 x₁ · x₂ = 21，求 x₁³ + x₂³ 的值。 If x₁ + x₂ = 10 and x₁ · x₂ = 21, find x₁³ + x₂³.

第4题二次函数 y = 2x² − 12x + 10 的顶点纵坐标是多少？ What is the y-coordinate of the vertex of y = 2x² − 12x + 10?

第5题不等式 |3x − 1| < 5 的整数解有多少个？ How many integer solutions does |3x − 1| < 5 have?

第6题将函数 f(x) = x² 的图像向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的函数是？ Shift the graph of f(x) = x² right by 3 and up by 2. What is the new function?

第7题若 x + 1/x = 4，求 x² + 1/x² 的值。 If x + 1/x = 4, find x² + 1/x².

第8题方程组 {x + y = 5, xy = 6} 的解中，x 和 y 的较大值的平方是多少？ In the system {x+y=5, xy=6}, what is the square of the larger value?

⬅ 上一页（本模块第一页）下一页 ➡ 数论进阶 / Number Theory