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○ 圆

Circles

圆是 AMC 8 几何中必考的知识点。掌握圆的周长、面积、弧长和扇形面积公式，以及组合图形的面积计算技巧。

📚 3 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：基础~中等
1
圆的基本概念 Basic Concepts
基础必考

1.1 圆心、半径、直径 Center, Radius, Diameter

📝 圆的基本公式 / Circle Formulas
周长 C = 2πr = πd
面积 S = πr²
d = 2r（直径 = 2 × 半径）
Circumference C = 2πr, Area S = πr², diameter d = 2r

在 AMC 8 中，通常取 π ≈ 3.14 或 π ≈ 22/7。但大多数题目答案是含 π 的形式。

On the AMC 8, answers are usually left in terms of π.

2
弧与扇形 Arcs and Sectors
核心高频

2.1 弧长与扇形面积 Arc Length and Sector Area

📝 弧长公式 / Arc Length
弧长 = (n/360) × 2πr = (nπr)/180
n 是圆心角的度数
Arc length = (n/360) × 2πr, where n = central angle in degrees
📝 扇形面积 / Sector Area
扇形面积 = (n/360) × πr²
Sector area = (n/360) × πr²
💡 邓老师提示：弧长和扇形面积都跟"角度/360"成正比。记住这个比例关系，做题时只需要算"角度占比"即可。
Both arc length and sector area are proportional to n/360. Just find the fraction of the circle!
3
圆的应用 Applications
中等高频

3.1 组合图形面积 Composite Areas

AMC 8 中常见的圆相关面积问题：

  • 圆内接正方形的面积
  • 正方形内切圆的面积
  • 半圆 + 矩形的组合
  • 环形面积（大圆减小圆）
📝 常用结论 / Useful Results
圆内接正方形：对角线 = 2r，边长 = r√2，面积 = 2r²
正方形内切圆：边长 = 2r，正方形面积 = 4r²
环形面积 = π(R² − r²)
4
例题精讲 Worked Examples
5 题
📌 例题 1 圆的面积

圆的半径为 7，面积是多少？（用 π 表示）Circle radius=7. Area in terms of π?

解题思路
S = π×7² = 49π。S = π×7² = 49π.
📌 例题 2 扇形面积

半径为 6 的圆，90°扇形的面积是多少？Radius=6, 90° sector area?

解题思路
S = (90/360)×π×6² = ¼×36π = 9π。S = (90/360)×π×36 = ¼×36π = 9π.
📌 例题 3 弧长

半径为 12 的圆，60°弧长是多少？Radius=12, 60° arc length?

解题思路
弧长 = (60/360)×2π×12 = (1/6)×24π = 4π。Arc = (60/360)×2π×12 = 4π.
📌 例题 4 圆内接正方形

半径为 5 的圆内接一个正方形。正方形面积是多少？A square is inscribed in a circle of radius 5. Square area?

解题思路
对角线=2r=10。正方形面积=对角线²÷2=100÷2=50。Diagonal=2r=10. Square area=d²/2=100/2=50.
📌 例题 5 环形面积

大圆半径 10，小圆半径 6。环形（两圆之间的区域）面积是多少？Outer radius=10, inner radius=6. Annulus area?

解题思路
S = π(10²−6²) = π(100−36) = 64π。S = π(100−36) = 64π.
5
巩固练习 Practice Problems
8 题

第1题 半径为 5 的圆，周长是多少？（用 π 表示）Radius=5. Circumference?

第2题 直径为 14 的圆，面积是多少？Diameter=14. Area?

第3题 圆面积增大到原来的 4 倍，半径变为原来的几倍？If circle area is 4x, radius is how many times?

第4题 正方形边长为 8，内切圆面积是多少？Square side=8. Inscribed circle area?

第5题 半圆的直径为 10，半圆的周长（含直径）是多少？Semicircle diameter=10. Perimeter (including diameter)?

第6题 半径为 9 的 120°扇形面积是多少？Radius=9, 120° sector area?

第7题 一个圆的周长为 16π，面积是多少？Circle circumference=16π. Area?

第8题 大圆半径为 8，小圆半径为 3。两圆面积之和是多少？Two circles: r=8 and r=3. Sum of areas?

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