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🎯 概率

Probability

古典概率、互斥与独立事件、条件概率、几何概率和期望值是 AMC 10 概率问题的核心。掌握"求有利结果数/总结果数"的基本框架是关键。

📚 4 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：中等⏱ 约35分钟
1
古典概率基础 Classical Probability
必考
📝 概率的定义
P(A) = 有利结果数 / 总结果数
0 ≤ P(A) ≤ 1，P(A) = 0 不可能事件，P(A) = 1 必然事件

AMC 10 概率题的核心步骤：

  1. 明确试验和所有等可能结果
  2. 计算总结果数
  3. 计算有利结果数
  4. 相除得概率
2
复合事件 Compound Events
高频
关系概率公式英文
互斥事件P(A∪B) = P(A) + P(B)Mutually exclusive
独立事件P(A∩B) = P(A) × P(B)Independent
对立事件P(Ā) = 1 − P(A)Complement
💡 邓老师提示："至少一个"类问题常用对立事件：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。这比直接计算所有情况要简单得多。
3
条件概率 Conditional Probability
进阶
📝 条件概率
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
在 B 已经发生的条件下，A 发生的概率
The probability of A given that B has occurred.

不放回抽样：每次抽取后总数减少，概率随之变化。

📝 不放回抽样示例
袋中 3 红 5 蓝共 8 球，取两次不放回，都是红球：
P = (3/8) × (2/7) = 6/56 = 3/28
4
几何概率与期望 Geometric Probability & Expected Value
中等

4.1 几何概率 Geometric Probability

📝 几何概率
P = 有利区域面积(或长度) / 总区域面积(或长度)

当结果连续分布在某个几何区域上时，用面积/长度/体积比来计算概率。

4.2 期望值 Expected Value

📝 期望值公式
E(X) = Σ xᵢ × P(xᵢ)
所有可能值 × 对应概率，然后求和
💡 邓老师提示：AMC 10 的期望值题通常是离散型的。对均匀骰子：E(掷一次) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5。
5
例题精讲 Worked Examples
5 题
📌 例题 1 骰子概率

同时掷两个骰子，点数之和为 7 的概率是多少？Two fair dice. Probability that the sum is 7?

解题思路
和为7的组合：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共6种。总结果36种。P=6/36=1/6。6 favorable outcomes out of 36. P=1/6.
📌 例题 2 抽牌

从 52 张扑克牌中随机抽一张，是红心或 A 的概率？Draw 1 card from 52. Probability of a heart or an ace?

解题思路：容斥原理
红心13张，A有4张，红心A有1张。P=(13+4−1)/52=16/52=4/13。Hearts: 13, Aces: 4, Heart Ace counted twice. P=(13+4−1)/52=16/52=4/13.
📌 例题 3 不放回抽样

袋中有 3 红 5 蓝共 8 球，不放回地取两次，都是红球的概率？3 red, 5 blue. Draw 2 without replacement. Both red?

解题思路
P=(3/8)×(2/7)=6/56=3/28。P=(3/8)×(2/7)=6/56=3/28.
📌 例题 4 对立事件

掷一个骰子两次，至少有一次出现 6 的概率？Roll a die twice. P(at least one 6)?

解题思路：对立事件
P(都不是6)=(5/6)²=25/36。P(至少一个6)=1−25/36=11/36。P(no 6)=(5/6)²=25/36. P(at least one 6)=1−25/36=11/36.
📌 例题 5 期望值

掷一个公平骰子，点数的期望值是多少？Expected value of one fair die roll?

解题思路
E=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5。E=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5.
6
巩固练习 Practice Problems
8 题提交即判

第1题掷两个骰子，点数之和为偶数的概率？Two dice. P(even sum)?

第2题袋中有 4 红 6 绿共 10 球，取一次是红球的概率？4 red, 6 green. P(red)?

第3题掷两个骰子，点数之积为偶数的概率？Two dice. P(even product)?

第4题掷骰子三次，三次都是6的概率？Roll 3 times. All three are 6?

第5题从 1 到 20 中随机选一个数，是质数的概率？Random number from 1 to 20. P(prime)?

第6题袋中有 5 个不同球，随机取 2 个，取到最大球的概率？5 distinct balls. Pick 2. P(getting the largest)?

第7题一个骰子掷 n 次，至少出现一次 6 的概率超过 1/2，n 最小是多少？Die rolled n times. P(at least one 6) > 1/2. Minimum n?

第8题不透明袋中有 3 红 2 蓝球。不放回地取 3 个，恰好 2 红 1 蓝的概率？3 red, 2 blue. Draw 3 without replacement. Exactly 2 red and 1 blue?

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