🔢 质因数分解

Prime Factorization

质因数分解是 AMC 8 数论的核心工具。通过标准分解式，我们可以快速求出一个数的因数个数、求两个数的最大公因数和最小公倍数、判断完全平方数等重要结论。

📚 4 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：中等⏱ 约35分钟

质因数分解的方法 Methods of Prime Factorization

基础AMC高频

1.1 短除法 Short Division

短除法是最常用的质因数分解方法：从最小的质数2开始，逐步除以质数，直到商为1为止。

Short division: start dividing by 2, then 3, then 5, etc., until the quotient becomes 1.

📝 短除法示例：分解 60

2 | 60
2 | 30
3 | 15
5 | 5
1
∴ 60 = 2² × 3 × 5

1.2 分解树 Factor Tree

分解树是一种直观展示质因数分解过程的图形方法。

A factor tree visually shows the prime factorization by repeatedly splitting a number into two factors.

📝 分解树示例：分解 72

        72
    /   \   （8 × 9）
    8     9   （2³ × 3²）
  / \   / \
2 4  2 9
  / \  / \
2 2  3 3
72 = 2³ × 3²

💡 邓老师提示：无论用短除法还是分解树，最后得到的标准分解式都是唯一的。分解树的不同分支顺序不影响最终结果。

唯一分解定理 Fundamental Theorem of Arithmetic

基础AMC核心

标准分解式 Standard Form: N = p₁ᵃ¹ × p₂ᵃ² × ...

每个大于1的整数 N 都可以唯一地写成以下形式：

📝 唯一分解定理 / Fundamental Theorem of Arithmetic

N = p₁ᵃ¹ × p₂ᵃ² × ... × pₖᵃᵏ

其中 p₁, p₂, ..., pₖ 是互不相同的质数，a₁, a₂, ..., aₖ 是正整数

Every integer > 1 can be uniquely written as a product of primes (up to order).

💡 邓老师提示：唯一分解定理是数论的基石。它保证了一个数的质因数分解是唯一的——就像每个整数都有一张唯一的"质因数指纹卡"。

质因数分解的应用 Applications

中等AMC高频

3.1 求因数个数公式 Number of Divisors

若 N = p₁ᵃ¹ × p₂ᵃ² × ... × pₖᵃᵏ，则

📝 因数个数公式

d(N) = (a₁ + 1)(a₂ + 1)...(aₖ + 1)

例：360 = 2³×3²×5 → d(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24

3.2 完全平方数判定 Perfect Square Test

N 是完全平方数 ⇔ N 的标准分解式中，所有指数都是偶数。

N is a perfect square ⇔ all exponents in its prime factorization are even.

📝 完全立方数判定

N 是完全立方数 ⇔ 所有指数都是3的倍数

例：72 = 2³×3² → 2的指数3是奇数 → 不是完全平方数

3.3 求 GCD 和 LCM GCD and LCM via Prime Factorization

给定两数 a 和 b 的质因数分解：

📝 GCD 和 LCM 的质因数求法

gcd(a,b) = 取公共质因数的最小指数之积

lcm(a,b) = 取所有质因数的最大指数之积

例：a=60=2²×3×5，b=48=2⁴×3 → gcd=2²×3=12，lcm=2⁴×3×5=240

例题精讲 Worked Examples

5 题含历年真题

📌 例题 1 AMC 8 常考题型

360 有多少个正因数？How many positive divisors does 360 have?

解题思路

360 = 2³×3²×5¹
因数个数 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24
360 = 2³×3²×5. d(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24.

📌 例题 2 GCD / LCM

用质因数分解法求 gcd(90, 126)。Find gcd(90, 126) using prime factorization.

解题思路

90 = 2×3²×5；126 = 2×3²×7
公共质因数：2¹×3² → gcd = 2×9 = 18
90 = 2×3²×5, 126 = 2×3²×7. Common primes: 2¹×3² → gcd = 18.

📌 例题 3 完全平方数判定

下列哪个数是完全平方数？Which of the following is a perfect square?

解题思路：检查所有指数是否都是偶数

50 = 2×5² → 指数：1,2 → 有奇数指数 ✗
75 = 3×5² → 指数：1,2 → 有奇数指数 ✗
144 = 2⁴×3² → 指数：4,2 → 全部偶数 ✓
96 = 2⁵×3 → 指数：5,1 → 有奇数指数 ✗
→ 144 = 12² 是完全平方数。144 = 2⁴×3², all exponents even → 144 = 12² (perfect square).

📌 例题 4 因数个数

恰好有 9 个正因数的最小正整数是多少？What is the smallest positive integer with exactly 9 positive divisors?

解题思路：9 = 9×1 = 3×3

9 = 9×1 → a₁=8 → 2⁸=256
9 = 3×3 → a₁=2,a₂=2 → 2²×3² = 36 ✓
其他可能：2⁸=256（太大）
最小的是 36。
9 = 3×3 → exponents (2,2) → 2²×3² = 36. Smallest = 36.

📌 例题 5 LCM

用质因数分解求 lcm(48, 72)。Find lcm(48, 72) using prime factorization.

解题思路

48 = 2⁴×3；72 = 2³×3²
取最大指数：2⁴×3² = 16×9 = 144
48 = 2⁴×3, 72 = 2³×3². LCM = 2⁴×3² = 144.

巩固练习 Practice Problems

8 题提交即判

第1题 210 = 2×3×5×7，这个分解正确吗？Is 210 = 2×3×5×7 correct?

第2题 72 = 2³×3²，72有多少个正因数？72 = 2³×3². How many positive divisors does 72 have?

第3题下列哪个数是完全平方数？Which of the following is a perfect square?

第4题 gcd(48, 80) 用质因数分解法怎么求？Find gcd(48, 80) using prime factorization.

第5题 1到100中，有多少个整数恰好有3个正因数？How many integers from 1 to 100 have exactly 3 positive divisors?

第6题 lcm(15, 20) 是多少？What is lcm(15, 20)?

第7题 200 的质因数分解是什么？What is the prime factorization of 200?

第8题 150 的正因数之和是多少？What is the sum of all positive divisors of 150?

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