🔗 相似与全等

Similarity and Congruence

全等和相似是 AMC 8 几何的重要概念。全等意味着形状大小完全相同，相似意味着形状相同但大小不同。

📚 3 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：基础~中等

全等三角形 Congruent Triangles

基础必考

1.1 全等的定义 Definition of Congruence

两个三角形全等（congruent），当且仅当它们的形状和大小完全相同。记作 △ABC ≅ △DEF。

Two triangles are congruent when they have exactly the same shape and size. Notation: △ABC ≅ △DEF.

1.2 全等判定 Congruence Criteria

判定方法	Criteria	说明
SSS	三边对应相等	三条边分别相等
SAS	两边夹角	两边及其夹角
ASA	两角夹边	两角及其夹边
AAS	两角及非夹边	两角及其中一角的对边
HL	斜边一直角边	仅用于直角三角形

⚠️ 注意：SSA（两边及非夹角）不能判定全等！AAA（三个角相等）只能判定相似，不能判定全等。
SSA does NOT prove congruence! AAA only proves similarity.

相似三角形 Similar Triangles

核心高频

2.1 相似的定义与判定 Definition and Criteria

两个三角形相似（similar），当且仅当它们的形状相同（对应角相等，对应边成比例）。记作 △ABC ~ △DEF。

Two triangles are similar when they have the same shape. Notation: △ABC ~ △DEF.

📝 相似三角形的性质 / Properties

① 对应角相等：∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
② 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k（相似比）
③ 面积比 = k²（相似比的平方）
④ 周长比 = k（相似比）

Corresponding angles equal, corresponding sides proportional. Area ratio = k², perimeter ratio = k.

判定方法	Criteria
AA	两角相等（最常用！）
SAS	两边成比例且夹角相等
SSS	三边成比例

💡 邓老师提示：AA 是 AMC 8 中最常用的相似判定！只要两个三角形有两个角对应相等，就一定相似。
AA is the most commonly used similarity criterion on the AMC 8!

相似的应用 Applications

核心高频

3.1 面积比与边长比 Area Ratio vs Side Ratio

📝 关键公式 / Key Formulas

边长比 = k → 面积比 = k²
面积比 = k → 边长比 = √k

Side ratio = k → Area ratio = k². Area ratio = k → Side ratio = √k.

举例：如果两个相似三角形的边长比为 2:3，则面积比为 4:9。反过来，如果面积比为 4:9，则边长比为 2:3。

3.2 中位线定理 Midsegment Theorem

三角形的中位线（连接两边中点的线段）平行于第三边，且等于第三边的一半。

The midsegment of a triangle is parallel to the third side and half its length.

📝 中位线定理 / Midsegment Theorem

中位线 ∥ 第三边，中位线 = ½ × 第三边

Midsegment ∥ third side, length = ½ × third side

例题精讲 Worked Examples

5 题

📌 例题 1 相似比与面积

两个相似三角形的边长比为 3:5。小三角形面积为 27，大三角形面积是多少？Similar triangles side ratio 3:5. Small area=27. Large area?

解题思路

面积比 = (5/3)² = 25/9。大面积 = 27 × 25/9 = 3 × 25 = 75。Area ratio = (5/3)² = 25/9. Large = 27 × 25/9 = 75.

📌 例题 2 AA判定

△ABC 中 ∠A=50°, ∠B=60°。△DEF 中 ∠D=50°, ∠E=60°。这两个三角形是什么关系？△ABC: ∠A=50°,∠B=60°. △DEF: ∠D=50°,∠E=60°. Relationship?

解题思路

∠C=180°−50°−60°=70°, ∠F=180°−50°−60°=70°。三组角都相等 → 相似（AAA）。但边长未知，不能确定全等。All three angles match → similar (AAA). But sides unknown, can't determine congruence.

📌 例题 3 面积比求边长比

两个相似三角形面积比为 16:25。对应边长比是多少？Area ratio=16:25. Side ratio?

解题思路

边长比 = √(面积比) = √(16/25) = 4/5。Side ratio = √(16/25) = 4/5.

📌 例题 4 中位线

三角形ABC中，D是AB中点，E是AC中点。BC=14，DE是多少？D midpoint of AB, E midpoint of AC. BC=14. DE?

解题思路

DE是中位线，平行于BC且等于BC的一半。DE = 14÷2 = 7。DE is midsegment = ½×BC = 7.

📌 例题 5 综合

一个三角形的中位线将原三角形分成两个小三角形，它们的关系是？A midsegment divides a triangle into two smaller triangles. What is their relationship?

解题思路

中位线将三角形分成两个面积相等的三角形（因为底相等、高相同）。注意：它们不一定全等，只是面积相等。The midsegment creates two equal-area triangles (same base, same height).

巩固练习 Practice Problems

8 题

第1题相似三角形边长比为 2:7。面积比是多少？Side ratio 2:7. Area ratio?

第2题相似三角形面积比为 9:16。周长比是多少？Area ratio=9:16. Perimeter ratio?

第3题判断：三边对应成比例的两个三角形一定相似。True or false: If three sides are proportional, triangles are similar.

第4题两个全等三角形的面积比为多少？What is the area ratio of two congruent triangles?

第5题相似三角形边长比为 3:4，大三角形周长为 56。小三角形周长是多少？Side ratio=3:4. Large perimeter=56. Small perimeter?

第6题三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。若DE=8，则BC是多少？D,E midpoints of AB,AC. DE=8. BC?

第7题判断：三个角对应相等的两个三角形全等。True or false: If all three angles match, the triangles are congruent.

第8题一个三角形和它的中点三角形（连接三边中点形成的小三角形）的面积比是多少？Triangle and its medial triangle. Area ratio?

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