🔢 计数原理

1.1 列举法 Listing Method

当可能的情况较少时，逐一列出所有情况并计数，是最直观的方法。

When there are few possibilities, simply listing all cases is the most straightforward approach.

举例：投掷两枚硬币，所有可能的结果：

• 正正 (HH)
• 正反 (HT)
• 反正 (TH)
• 反反 (TT)

共 4 种情况。

1.2 树形图 Tree Diagram

当选择有多个步骤时，树形图（树状图）能清晰展示所有可能路径。

When choices involve multiple steps, a tree diagram clearly shows all possible paths.

2.1 加法原理（分类计数）Addition Principle (Sum Rule)

完成一件事有不同的方法，每种方法都能独立完成，则总方法数等于各种方法数之和。

If a task can be completed by different methods, and each works independently, total = sum of each category.

举例：从上海到北京，可以坐飞机（5班/天）或坐高铁（10班/天），问共有多少种方式？5 + 10 = 15种

2.2 乘法原理（分步计数）Multiplication Principle (Product Rule)

完成一件事需要多个步骤，每个步骤缺一不可，则总方法数等于各步方法数之积。

If a task requires multiple steps, and all steps must be completed, total = product of steps.

举例：点餐：主食有3种，饮料有2种，甜点有4种。各选一种：3 × 2 × 4 = 24种

3.1 排列 Permutations

从 n 个不同元素中，有序地选出 k 个排成一列：

From n distinct elements, arrange k of them in order:

举例：5个人排成一排：P(5,5) = 5! = 120种
举例：5个人选3人排成一排：P(5,3) = 5×4×3 = 60种

3.2 组合 Combinations

从 n 个不同元素中，无序地选出 k 个组成一组：

From n distinct elements, choose k of them without regard to order:

举例：5个人选3人组成委员会（不考虑职位）：C(5,3) = 5!/(3!×2!) = (5×4×3)/(3×2×1) = 10种