首页 ›AMC 10 ›几何 ›立体几何初步

🌐 立体几何初步

Solid Geometry

正方体、长方体、棱柱、棱锥和球体的体积与表面积是 AMC 10 的重要考点。截面分析需要空间想象力，而体积的计算技巧（割补法、相似比）则是竞赛高频考法。

📚 4 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：进阶⏱ 约40分钟
1
棱柱与棱锥 Prisms and Pyramids
必考

1.1 长方体与正方体 Rectangular Prisms & Cubes

📝 长方体 / Rectangular Prism
体积 V = l × w × h
表面积 S = 2(lw + lh + wh)
l = 长(length), w = 宽(width), h = 高(height)
📝 正方体 / Cube
体积 V = a³（a = 棱长, a³ = a × a × a）
表面积 S = 6a²
体对角线 Body Diagonal = a√3
体对角线 = 连接两个相对顶点的线段，通过正方体中心。
💡 邓老师提示：AMC 常考"平面展开图"（将立体表面展开成平面图形）和"最短路径"（展开后连直线）。例如：一只蚂蚁从正方体一面走到对面，可以将两个面展开后用勾股定理求最短路径。
2
球体 Spheres
高频进阶

2.1 球体的体积与表面积 Volume & Surface Area of Spheres

📝 球体公式 / Sphere Formulas
体积 V = (4/3)πr³
表面积 S = 4πr²
r = 球半径 (radius)。注意：球的体积和表面积都与半径的幂次成正比。

对比其他几何体，球的体积增长得最快（r³），表面积次之（r²），直径只增长 r。

📝 球的截面 / Cross Sections of a Sphere
大圆（Great Circle）：过球心的截面，面积最大，圆半径 = r
小圆（Small Circle）：不过球心的截面，圆半径 < r
大圆将球分成相等的两半，类似于地球的赤道。

2.2 球内接正方体 Cube Inscribed in a Sphere

📝 球内接正方体
正方体的体对角线 = 球的直径 = 2r
若正方体棱长为 a，则体对角线 = a√3 = 2r
反过来，已知正方体体积 → 求 a → 求 r → 求球表面积。
💡 邓老师提示：球的切线问题：从球外一点 P 到球面的两条切线长相等（PA = PB）。这在 AMC 10 中常作为已知条件出现。
3
体积与表面积综合 Advanced Volume & Surface Area
进阶

3.1 割补法 Dissection & Complementation Method

不规则立体图形可通过切割或补全转化为规则图形。

📝 割补法核心思路
复杂体体积 = 规则体体积之和 − 被重复计算的部分
或：复杂体体积 = 补全后规则体 − 补全部分
关键：找到最简单的"主体"形状。

3.2 相似比与体积比 Similarity Ratio & Volume Ratio

📝 相似立体图形的重要性质
相似比（边长比）= k
面积比 = k²
体积比 = k³
这是 AMC 10 高频考点：已知相似比，求体积比；或已知体积比，反求相似比。

3.3 排水法（浸没法）Water Displacement Method

📝 阿基米德原理 / Archimedes' Principle
物体浸入水中，排开水的体积 = 物体自身体积
V物体 = 底面积 × 水面上升高度
AMC 10 常考：容器底面积已知，放入物体后水面上升，求物体体积。
💡 邓老师提示：旋转体（将平面图形绕某轴旋转得到立体图形）是 AMC 10 的难点。例如：将矩形绕一边旋转得到圆柱，将直角三角形绕直角边旋转得到圆锥。掌握旋转体的体积公式即可从容应对。
4
截面分析 Cross Sections
进阶难点

4.1 平面截正方体 Cross Sections of a Cube

用一个平面去截正方体，截面可能是以下几种多边形：

截面形状说明
三角形等边三角形、等腰三角形等
四边形矩形、正方形、菱形、梯形
五边形截去正方体一个角
六边形正六边形（平行于体对角线截取）
⚠️ 注意：平面截正方体，截面不可能出现七边形或更多边的图形。正方体只有 8 个顶点、12 条棱、6 个面，截面多边形的顶点数不可能超过 12。

4.2 平面截圆柱 Cross Sections of a Cylinder

📝 圆柱截面类型
圆：截面与圆柱轴垂直
椭圆：截面与轴成一定角度（斜截圆柱）
矩形：截面通过圆柱的两条母线（沿轴方向截）
💡 邓老师提示：截面问题需要良好的空间想象力。建议用实物（橡皮泥、萝卜）实际切一切，观察截面形状。在 AMC 10 中，常见的策略是：先确定截面与哪些棱相交，再判断截面形状。
5
例题精讲 Worked Examples
5 题
📌 例题 1 基础

一个长方体的长、宽、高分别为 3、4、5，求它的表面积。A rectangular prism has length 3, width 4, and height 5. Find its surface area.

解题思路
长方体表面积公式：S = 2(lw + lh + wh) = 2(3×4 + 3×5 + 4×5) = 2(12 + 15 + 20) = 2×47 = 94。Surface area = 2(lw+lh+wh) = 2(12+15+20) = 94.
📌 例题 2 中等

一个正方体的体对角线长为 √3，求它的体积。A cube has a body diagonal of √3. Find its volume.

解题思路
正方体体对角线 = a√3。已知 a√3 = √3，所以 a = 1。体积 V = a³ = 1。Body diagonal = a√3 = √3, so a = 1. Volume = 1³ = 1.
📌 例题 3 中等

一个球体的表面积为 36π，求它的体积（用π表示）。A sphere has surface area 36π. Find its volume (in terms of π).

解题思路
表面积 S = 4πr² = 36π → r² = 9 → r = 3。体积 V = (4/3)πr³ = (4/3)π·27 = 36π。4πr² = 36π → r = 3. V = (4/3)π·27 = 36π.
📌 例题 4 进阶

一个正方体内接于一个球，已知正方体的体积为 8，求球的表面积。A cube is inscribed in a sphere. If the cube's volume is 8, find the sphere's surface area.

解题思路
正方体体积 = a³ = 8 → a = 2。体对角线 = a√3 = 2√3 = 球直径 d → r = √3。球表面积 S = 4πr² = 4π·3 = 12π。Cube: a³=8 → a=2. Body diagonal = 2√3 = sphere diameter → r=√3. S = 4π·3 = 12π.
📌 例题 5 进阶

两个相似的圆柱，高之比为 2:3，求它们的体积之比。Two similar cylinders have height ratio 2:3. Find the ratio of their volumes.

解题思路
相似比 = 棱长比 = 高比 = 2:3。体积比 = 相似比的立方 = (2/3)³ = 8:27。Similarity ratio = height ratio = 2:3. Volume ratio = (2/3)³ = 8/27.
6
巩固练习 Practice Problems
8 题提交即判

第1题正方体棱长为4，求表面积。A cube has edge length 4. Find its surface area.

第2题圆柱底面半径为3、高为10，求体积（用π表示）。A cylinder has base radius 3 and height 10. Find its volume (in terms of π).

第3题球体体积为 (32/3)π，求半径。A sphere has volume (32/3)π. Find its radius.

第4题棱锥底面积为12、高为5，求体积。A pyramid has base area 12 and height 5. Find its volume.

第5题一个正方体的体对角线长为 6，求棱长。A cube has body diagonal 6. Find its edge length.

第6题正方体内接于球，正方体棱长为4，求球的表面积。A cube of edge 4 is inscribed in a sphere. Find the sphere's surface area.

第7题两个相似的长方体，棱长之比为 1:2，则体积之比为？Two similar rectangular prisms have edge ratio 1:2. What is the ratio of their volumes?

第8题平面截一个正方体，截面不可能是以下哪种图形？A plane cuts a cube. Which shape is NOT possible as the cross-section?

⬅ 上一页数列与级数 / Sequences & Series