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📈 坐标几何基础

Coordinate Geometry

坐标几何将代数与几何完美结合，是 AMC 8 的高频考点。掌握点的坐标表示、距离公式与中点公式，能够轻松解决平面几何的坐标化问题。

📚 3 章节 💡 5 道例题 ✏️ 8 道练习 🎯 难度：中等 ⏱ 约25分钟
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坐标平面 The Coordinate Plane
基础 必考

1.1 平面直角坐标系 Rectangular Coordinate System

在平面直角坐标系中，用一对有序数 (x, y) 来表示平面上任意一点的位置：

In the rectangular coordinate plane (Cartesian plane), any point is represented by an ordered pair (x, y):

  • x 称为横坐标（abscissa），沿 x 轴（水平向右为正方向）
  • y 称为纵坐标（ordinate），沿 y 轴（垂直向上为正方向）
    • The x-coordinate measures horizontal distance; the y-coordinate measures vertical distance.
📝 坐标平面组成 / Parts of the Coordinate Plane
x轴 (x-axis) · y轴 (y-axis) · 原点 O(0, 0)
两条数轴互相垂直，交点称为原点 (origin)
The two perpendicular number lines intersect at the origin O(0,0).

1.2 象限与特殊点 Quadrants and Special Points

坐标平面被 x 轴和 y 轴划分为四个象限：

The coordinate plane is divided into four quadrants by the x- and y-axes:

象限坐标特征Example Points
第一象限 Ix > 0, y > 0(3, 4), (1, 2)
第二象限 IIx < 0, y > 0(-3, 4), (-1, 2)
第三象限 IIIx < 0, y < 0(-3, -4), (-1, -2)
第四象限 IVx > 0, y < 0(3, -4), (1, -2)
坐标轴上至少有一个坐标为 0(5, 0) 在x轴, (0, -3) 在y轴
💡 邓老师提示：象限只对不在坐标轴上的点有意义。如果点在 x 轴上（y = 0）或 y 轴上（x = 0），它不属于任何象限！
Points on the axes (where x=0 or y=0) are NOT in any quadrant!
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距离与中点 Distance and Midpoint
基础 高频

2.1 两点间距离公式 Distance Between Two Points

平面上两点 A(x₁, y₁) 与 B(x₂, y₂) 之间的距离，源于勾股定理：

The distance between points A(x₁, y₁) and B(x₂, y₂) is derived from the Pythagorean theorem:

📝 两点间距离公式 / Distance Formula
AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
勾股定理的应用：横坐标差的平方 + 纵坐标差的平方，再开方
√[(Δx)² + (Δy)²] — square root of the sum of squared differences

推导：横坐标之差为 |x₂ − x₁|，纵坐标之差为 |y₂ − y₁|，这两条线段与 AB 构成直角三角形。

Derivation: The horizontal difference |x₂−x₁| and vertical difference |y₂−y₁| form legs of a right triangle with AB as the hypotenuse.

💡 邓老师提示：记不住公式？先画直角三角形！横坐标差和纵坐标差就是两条直角边，斜边就是距离。
Can't remember the formula? Draw a right triangle first!

2.2 中点公式 Midpoint Formula

连接 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂) 的线段，其中点 M 的坐标是两个端点坐标的平均值：

The midpoint M of segment AB (endpoints A(x₁,y₁) and B(x₂,y₂)) is simply the average of the coordinates:

📝 中点公式 / Midpoint Formula
M = ((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2)
中点横坐标 = 两端点横坐标之和 ÷ 2；中点纵坐标同理
M_x = (x₁+x₂)/2, M_y = (y₁+y₂)/2

举例：

  • A(2, 3) 和 B(8, 7) 的中点：M = ((2+8)/2, (3+7)/2) = (5, 5)
  • A(-1, 4) 和 B(3, -2) 的中点：M = ((-1+3)/2, (4+(-2))/2) = (1, 1)
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坐标几何的应用 Applications of Coordinate Geometry
中等 AMC高频

3.1 面积计算 Calculating Area Using Coordinates

利用坐标计算多边形面积，AMC 8 最常用的技巧是矩形法：

The most common technique on AMC 8 for finding area from coordinates is the rectangle method (shoelace-like approach):

📝 矩形法计算面积 / Rectangle Method
① 画出包含该图形的最小矩形（边界与坐标轴平行）
② 计算矩形面积
③ 减去矩形内多余的三角形或小矩形
① Draw the bounding rectangle (aligned with axes)
② Compute its area
③ Subtract the areas of extra triangles/rectangles outside the shape

另一种方法——割补法：将不规则图形分割成几个易算的矩形和三角形。

Another method — partition method: divide the shape into easy-to-calculate rectangles and triangles.

3.2 对称点与图形变换 Reflection and Coordinate Transformations

关于坐标轴对称的点的坐标有规律可循：

Reflecting a point across the coordinate axes follows predictable patterns:

变换原坐标 P(a, b)变换后
关于 x 轴对称(a, b)(a, −b) — y 变号
关于 y 轴对称(a, b)(−a, b) — x 变号
关于原点对称(a, b)(−a, −b) — x, y 都变号
关于直线 y = x 对称(a, b)(b, a) — 交换坐标
⚠️ 注意：不要混淆！关于某条直线对称，坐标如何变化。建议动手画图验证。
Don't mix these up! Draw a quick sketch to verify.
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例题精讲 Worked Examples
5 题 含历年真题
📌 例题 1 距离公式·基础

点 A(3, 4) 和点 B(7, 1) 之间的距离是多少？ What is the distance between points A(3,4) and B(7,1)?

解题思路
距离公式：d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
= √[(7−3)² + (1−4)²] = √[4² + (−3)²] = √[16+9] = √25 = 5
这是一个经典的 3-4-5 直角三角形！ d = √[(7−3)² + (1−4)²] = √[16+9] = √25 = 5. A classic 3-4-5 triangle!
📌 例题 2 象限识别

下列哪个点在第二象限？ Which of the following points is in the second quadrant?

解题思路
第二象限的特征：x < 0 且 y > 0（负 x，正 y）
A) (3, −5): x>0, y<0 → 第四象限 ✗
B) (−4, 7): x<0, y>0 → 第二象限 ✓
C) (2, 3): x>0, y>0 → 第一象限 ✗
D) (−1, −3): x<0, y<0 → 第三象限 ✗ Quadrant II: x < 0, y > 0. Only (−4, 7) satisfies this.
📌 例题 3 中点公式

线段 AB 的端点为 A(−2, 5) 和 B(6, 1)，其中点 M 的坐标是？ What are the coordinates of the midpoint M of segment AB with endpoints A(−2,5) and B(6,1)?

解题思路
中点公式：M = ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2)
= ((−2+6)/2 , (5+1)/2) = (4/2 , 6/2) = (2, 3) M = ((−2+6)/2, (5+1)/2) = (2, 3).
📌 例题 4 坐标几何·面积

顶点为 A(0, 0)、B(6, 0)、C(6, 4)、D(0, 4) 的四边形面积是多少？ What is the area of the quadrilateral with vertices A(0,0), B(6,0), C(6,4), D(0,4)?

解题思路
这四个点正好构成一个长方形（矩形）：
宽 = |6 − 0| = 6（沿 x 轴）
高 = |4 − 0| = 4（沿 y 轴）
面积 = 长 × 宽 = 6 × 4 = 24 These four points form a rectangle: width = 6, height = 4. Area = 6×4 = 24.
📌 例题 5 对称变换·综合

点 P(3, −5) 关于 x 轴对称后的点 Q 的坐标是？ Point P(3, −5) is reflected across the x-axis to point Q. What are the coordinates of Q?

解题思路
关于 x 轴对称：x 坐标不变，y 坐标取相反数。
P(3, −5) → Q(3, 5)
验证：x轴是 y=0 的直线，P到x轴距离5，对称点在x轴另一侧，同x坐标。 Reflection across x-axis: keep x the same, negate y. P(3,−5) → Q(3, 5).
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巩固练习 Practice Problems
8 题 提交即判

第1题 点 P(−1, 4) 和点 Q(3, 1) 之间的距离是？ What is the distance between P(−1,4) and Q(3,1)?

第2题 点 (0, 7) 位于哪个坐标轴上？ On which axis is the point (0, 7) located?

第3题 A(2, 1) 和 B(8, 1) 的中点坐标是？ What is the midpoint of A(2,1) and B(8,1)?

第4题 三角形顶点为 (0,0)、(5,0)、(5,12)，它的面积是？ A triangle has vertices (0,0), (5,0), and (5,12). What is its area?

第5题 点 (7, −2) 关于 y 轴对称后的点的坐标是？ What are the coordinates of the point symmetric to (7, −2) about the y-axis?

第6题 坐标平面内，不在任何象限内的点共有多少个？ How many points on the coordinate plane are NOT in any quadrant?

第7题 A(1, 2) 和 B(5, 2) 的距离是？ What is the distance between A(1, 2) and B(5, 2)?

第8题 点 (a, b) 关于原点对称后的点坐标是 (−3, 5)，则原点的坐标 (a, b) 为？ The point (a, b) reflected through the origin becomes (−3, 5). What is (a, b)?