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🎲 排列组合

Combinatorics

排列、组合、容斥原理和鸽巢原理是 AMC 10 中"数与代数"之外最常见的计数问题。区分"排列"（有序）和"组合"（无序）是关键。

📚 4 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：进阶⏱ 约40分钟
1
计数基本原理 Counting Principles
必考
📝 加法原理 / Addition Principle
若任务 A 有 m 种方法，任务 B 有 n 种方法，且 A、B 不能同时进行
总方法数 = m + n
📝 乘法原理 / Multiplication Principle
若第一步有 m 种方法，第二步有 n 种方法（每步独立）
总方法数 = m × n
💡 邓老师提示：加法原理用于"或"（选A或B），乘法原理用于"且"（先A再B）。这是最基本的判断标准。
2
排列 Permutations 排列
高频进阶

排列 = 从 n 个不同元素中选 r 个排成一排（有顺序）。

📝 排列数公式 / Permutation Formula
P(n, r) = n! / (n − r)! = n × (n−1) × ... × (n−r+1)
n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1, and 0! = 1

环形排列：n 个不同元素围成一圈，排列数为 (n−1)!（因为旋转后相同）。

📝 常用值
5! = 120，6! = 720，7! = 5040，8! = 40320
3
组合 Combinations 组合
必考高频

组合 = 从 n 个不同元素中选 r 个（不区分顺序）。

📝 组合数公式 / Combination Formula
C(n, r) = n! / (r! × (n−r)!)
C(n,r) = C(n, n−r) — "选 r 个" = "排除 n−r 个"

排列 vs 组合：排列有序（P），组合无序（C）。同一个问题，P(n,r) = C(n,r) × r!。

💡 邓老师提示：AMC 10 中最核心的判断是："是否关心顺序"？排队、安排座位→排列；选人、分组→组合。记住 P(n,r) = C(n,r) × r! 可以相互转换。
4
容斥原理与鸽巢原理 Inclusion-Exclusion & Pigeonhole
进阶

4.1 容斥原理 Inclusion-Exclusion

📝 二集合容斥
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

容斥原理可以处理"至少一个"类型的计数问题。

4.2 鸽巢原理 Pigeonhole Principle

📝 鸽巢原理 / Pigeonhole Principle
若把 n+1 个物品放入 n 个盒子，则至少有一个盒子有 ≥2 个物品
更一般地：把 kn+1 个物品放入 n 个盒子→至少一个盒子有 ≥k+1 个
💡 邓老师提示：鸽巢原理在 AMC 10 中常以"至少几人""至少几个"的形式出现。关键是识别"鸽子"（物品）和"鸽巢"（分类）。
5
例题精讲 Worked Examples
5 题
📌 例题 1 排列

从 5 个人中选 3 人排成一排，有多少种排法？How many ways to arrange 3 out of 5 people in a row?

解题思路
P(5,3) = 5×4×3 = 60。P(5,3) = 5×4×3 = 60.
📌 例题 2 组合

从 10 个不同球中取 4 个的组合数 C(10,4) 是多少？Find C(10,4).

解题思路
C(10,4) = 10!/(4!×6!) = (10×9×8×7)/(4×3×2×1) = 5040/24 = 210。C(10,4) = (10×9×8×7)/(4×3×2×1) = 5040/24 = 210.
📌 例题 3 环形排列

5 个不同的人围成一圈坐，有多少种坐法？5 distinct people sit around a circular table. How many arrangements?

解题思路
环形排列 = (n−1)! = 4! = 24。Circular arrangement = (n−1)! = 4! = 24.
📌 例题 4 分配问题

将 4 个不同的球放入 3 个不同的盒子（允许空盒），有多少种方法？Distribute 4 distinct balls into 3 distinct boxes. How many ways?

解题思路
每个球有 3 种选择，独立。3⁴ = 81。Each ball has 3 choices. 3⁴ = 81.
📌 例题 5 组合计算

C(12, 5) 等于多少？What is C(12, 5)?

解题思路
C(12,5) = 12!/(5!×7!) = (12×11×10×9×8)/(5×4×3×2×1) = 95040/120 = 792。C(12,5) = (12×11×10×9×8)/(5×4×3×2×1) = 792.
6
巩固练习 Practice Problems
8 题提交即判

第1题从 7 人中选 3 人组成委员会（不区分职务），有多少种方法？Choose 3 from 7 for a committee. How many ways?

第2题6 本不同的书排放在书架上，有多少种排法？6 distinct books on a shelf. How many arrangements?

第3题C(8, 3) + C(8, 5) 等于多少？C(8,3) + C(8,5) = ?

第4题一个班级有 25 名学生，至少几人的生日在同一个月？25 students. What is the minimum number sharing a birth month?

第5题从 5 男 4 女中选 3 人，要求恰好 1 男 2 女，有多少种选法？Choose 3 from 5 men and 4 women with exactly 1 man and 2 women.

第6题将"AMC10"这 5 个字母排成一排，有多少种不同的排列？How many arrangements of the letters in "AMC10"?

第7题从 1 到 100 中，既不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的整数有多少个？How many integers from 1 to 100 are neither multiples of 3 nor 5?

第8题一个 3 位数的各位数字从 {1, 2, 3, 4, 5} 中选取（可重复），且各位数字互不相同。这样的三位数有多少个？How many 3-digit numbers have distinct digits chosen from {1,2,3,4,5}?

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