1.1 分类 Classification
三角形可以按边和角两种方式分类：
Triangles can be classified by sides and by angles:
| 按边分类 | By Sides | 特点 |
|---|---|---|
| 不等边三角形 | Scalene | 三条边都不等 |
| 等腰三角形 | Isosceles | 两条边相等 |
| 等边三角形 | Equilateral | 三条边都相等 |
| 按角分类 | By Angles | 特点 |
|---|---|---|
| 锐角三角形 | Acute | 三个角都小于90° |
| 直角三角形 | Right | 有一个角等于90° |
| 钝角三角形 | Obtuse | 有一个角大于90° |
1.2 三角形内角和 Angle Sum
推论：
- 三角形最多只能有 1个 直角或钝角
- 外角定理：三角形的一个外角 = 不相邻的两个内角之和
The exterior angle theorem is very useful on the AMC! An exterior angle equals the sum of the two non-adjacent interior angles.
2.1 三角形不等式 Triangle Inequality
等价说法：任意两边之差小于第三边。例如 |a − b| < c。
Equivalent: the difference of any two sides is less than the third side.
Quick check: if the sum of the two shortest sides > longest side, all three inequalities hold.
2.2 等腰三角形与等边三角形 Isosceles and Equilateral Triangles
| 类型 | 等腰三角形 | 等边三角形 |
|---|---|---|
| 定义 | 两条边相等 | 三条边都相等 |
| 角度 | 两底角相等 | 每个角都是 60° |
| 对称性 | 1条对称轴 | 3条对称轴 |
| 面积公式 | ½ × 底 × 高 | (√3/4) × a² |
3.1 面积公式 Area Formulas
The area is the same regardless of which side you choose as the base. Different bases give different heights, but ½ × base × height stays constant.
3.2 高与中线 Altitudes and Medians
- 高（Altitude）：从顶点向对边（或延长线）所作的垂线段：perpendicular from vertex to opposite side
- 中线（Median）：连接顶点和对边中点的线段：line from vertex to midpoint of opposite side
- 中线将三角形分成面积相等的两个小三角形
- 三角形的三条中线交于一点（重心），重心将每条中线分为 2:1
三角形两个内角分别是 55° 和 75°，第三个角是多少度？Two angles of a triangle are 55° and 75°. What is the third angle?
以下哪组线段能构成三角形？Which set of segments can form a triangle?
B: 3+4=7 ≯ 8 ✗
C: 4+5=9 ≯ 10 ✗
D: 5+7=12 > 10 ✓, 5+10=15 > 7 ✓, 7+10=17 > 5 ✓
答案：D Check: 5+7=12>10 ✓, 5+10=15>7 ✓, 7+10=17>5 ✓. Answer: D.
等腰三角形的周长为 32，底边长为 10。腰长是多少？An isosceles triangle has perimeter 32 and base 10. What is the length of each leg?
验证：11 + 11 = 22 > 10 ✓，满足三角形不等式。 2x + 10 = 32 → x = 11. Verify: 11+11=22 > 10 ✓.
三角形底边为 12，面积为 42，对应的高是多少？A triangle has base 12 and area 42. What is the corresponding height?
三角形 ABC 中，∠A = 40°，∠B = 65°。延长 BC 到 D，则 ∠ACD 是多少度？In △ABC, ∠A=40°, ∠B=65°. Extend BC to D. What is ∠ACD?
∠ACD（外角）= ∠A + ∠B = 40° + 65° = 105°
或：∠ACD = 180° − ∠C = 180° − 75° = 105° ∠C = 180°−40°−65° = 75°. ∠ACD (exterior) = ∠A+∠B = 40°+65° = 105°.
第1题 等边三角形的每个内角是多少度？What is each interior angle of an equilateral triangle?
第2题 三角形两边长分别为 8 和 13，第三边的长度可能是以下哪个？Two sides are 8 and 13. Which could be the third side?
第3题 直角三角形两个锐角分别是 35° 和 55°，判断是否正确。A right triangle has acute angles 35° and 55°. True or false?
第4题 等边三角形边长为 6，面积是多少？（用 √3 表示）Equilateral triangle with side 6. Area in terms of √3?
第5题 等腰三角形周长为 36，腰长为整数。腰长的可能取值有多少个？Isosceles triangle perimeter=36. How many integer values can the leg length take?
第6题 三角形三个内角之比为 2:3:4，最大角是多少度？Angles of a triangle are in ratio 2:3:4. What is the largest angle?
第7题 三角形 ABC 的中线 AD 将 BC 分成 BD=5 和 DC=5。△ABD 的面积是 15，△ADC 的面积是多少？Median AD divides BC into BD=5, DC=5. If △ABD area=15, what is △ADC area?
第8题 三角形的三边长分别为 5, 12, 13。这个三角形是什么类型？A triangle has sides 5, 12, 13. What type is it?