🎲 概率基础

1.1 随机事件 Random Events

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件（random event）。

An event that may or may not happen under certain conditions is called a random event.

• 必然事件：在条件下一定会发生的事件（如：太阳每天东升）
• 不可能事件：在条件下绝对不会发生的事件（如：掷骰子得到7点）
• 随机事件：可能发生也可能不发生（如：明天是晴天）

1.2 概率的定义 Definition of Probability

在等可能性假设下，事件 A 发生的概率定义为：

Under the assumption of equally likely outcomes, the probability of event A is defined as:

概率的性质：

• 0 ≤ P(A) ≤ 1  （概率在0和1之间）Probability is always between 0 and 1
• P(A) = 0  不可能事件 Impossible event
• P(A) = 1  必然事件 Certain event

2.1 等可能事件 Equally Likely Events

当所有结果出现的机会相等时（如掷骰子、抛硬币），概率可以直接用分子÷分母来计算：

When all outcomes are equally likely (coin toss, die roll), probability is favorable ÷ total:

举例：掷一枚均匀骰子，点数为偶数的概率？
样本空间：{1,2,3,4,5,6}，共6个等可能结果。
偶数点：{2,4,6}，共3个。
P(偶数) = 3/6 = 1/2

2.2 互斥事件与加法法则 Mutually Exclusive Events & Addition Rule

如果两个事件不可能同时发生，则它们是互斥事件（互不相容）。

If two events cannot occur at the same time, they are mutually exclusive (disjoint).

举例：掷骰子，P(1或6) = P(1) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 1/3

3.1 几何概率 Geometric Probability

当有利结果可以用面积（或长度）的比值来表示时，就是几何概率：

When favorable outcomes can be expressed as a ratio of areas (or lengths), we have geometric probability:

举例：在边长为4的正方形中随机投一点，点落在内切圆中的概率？
正方形面积 = 16，圆的面积 = π×2² = 4π，P = 4π/16 = π/4 ≈ 0.785

3.2 多次独立试验 Independent Trials

当多个试验相互独立时，组合事件的概率等于各事件概率的乘积：

When multiple trials are independent, the probability of the combined event equals the product of individual probabilities:

举例：抛两枚硬币，都正面朝上的概率？
P(正正) = P(正) × P(正) = 1/2 × 1/2 = 1/4