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📐 勾股定理

Pythagorean Theorem

勾股定理是 AMC 8 中最重要的几何定理之一。几乎每次考试都会出现与勾股定理相关的题目，必须熟练掌握。

📚 3 章节💡 5 道例题✏️ 8 道练习🎯 难度：基础~中等
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勾股定理 The Pythagorean Theorem
核心必考

1.1 定理内容 Statement

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

In a right triangle, the sum of the squares of the two legs equals the square of the hypotenuse.

📝 勾股定理 / Pythagorean Theorem
a² + b² = c²
其中 c 是斜边（hypotenuse），a 和 b 是直角边（legs）
where c = hypotenuse (longest side), a and b = legs
💡 邓老师提示：勾股定理只适用于直角三角形！使用前先确认三角形是否有直角。斜边 c 永远是最长的边。
Only applies to right triangles! The hypotenuse c is always the longest side.

1.2 逆定理 Converse

如果三角形三边满足 a² + b² = c²，则该三角形是直角三角形。

If a² + b² = c², then the triangle is a right triangle.

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常见勾股数组 Common Pythagorean Triples
基础必背

满足 a² + b² = c² 的正整数组称为勾股数（Pythagorean triple）。以下必须熟记：

A set of positive integers satisfying a² + b² = c² is called a Pythagorean triple. Memorize these:

基本组Basic验证Check
3, 4, 53²+4²=9+16=25=5² ✓倍数：6,8,10 / 9,12,15 / ...Any multiple works
5, 12, 1325+144=169=13² ✓倍数：10,24,26 / ...
8, 15, 1764+225=289=17² ✓
7, 24, 2549+576=625=25² ✓
6, 8, 1036+64=100=10² ✓（3-4-5的2倍）
9, 12, 1581+144=225=15² ✓（3-4-5的3倍）
💡 邓老师提示：看到边长为 3-4-5 的倍数时，立刻识别为直角三角形！这是 AMC 中最常见的勾股数组。
When you see sides that are multiples of 3-4-5, immediately recognize it as a right triangle!
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勾股定理的应用 Applications
核心高频

3.1 距离公式 Distance Formula

📝 平面上两点距离 / Distance Between Two Points
d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
This is the Pythagorean theorem applied to the coordinate plane

3.2 对角线 Diagonals

矩形对角线：d = √(a² + b²)，其中 a、b 是矩形的长和宽。

正方形对角线：d = a√2，其中 a 是边长。

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例题精讲 Worked Examples
5 题
📌 例题 1 求斜边

直角三角形两条直角边分别为 9 和 12。斜边是多少？Right triangle legs=9 and 12. Hypotenuse?

解题思路
c = √(9²+12²) = √(81+144) = √225 = 15。（3-4-5的3倍）c = √(81+144) = √225 = 15. (3-4-5 triple ×3)
📌 例题 2 求直角边

直角三角形斜边为 13，一条直角边为 5。另一条直角边是多少？Hypotenuse=13, one leg=5. Other leg?

解题思路
b = √(13²−5²) = √(169−25) = √144 = 12。（5-12-13勾股数）b = √(169−25) = √144 = 12. (5-12-13 triple)
📌 例题 3 矩形对角线

矩形长为 20，宽为 15。对角线长是多少？Rectangle: 20×15. Diagonal?

解题思路
d = √(20²+15²) = √(400+225) = √625 = 25。（3-4-5的5倍：15-20-25）d = √(400+225) = √625 = 25. (3-4-5 ×5)
📌 例题 4 距离公式

点 A(3, 4) 和点 B(7, 7) 之间的距离是多少？Distance between A(3,4) and B(7,7)?

解题思路
d = √[(7−3)²+(7−4)²] = √(16+9) = √25 = 5。d = √(16+9) = √25 = 5.
📌 例题 5 正方形对角线

正方形面积为 98，对角线长是多少？Square area=98. Diagonal?

解题思路
边长a=√98=7√2。对角线=a√2=7√2×√2=14。
或：对角线²=2a²=2×98=196，对角线=14。Diagonal²=2×98=196, d=14.
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巩固练习 Practice Problems
8 题

第1题 直角三角形两边为 6 和 8，斜边是多少？Legs=6,8. Hypotenuse?

第2题 梯子长 25，靠在墙上，梯子底端离墙 7。梯子顶端离地多高？Ladder=25, base=7 from wall. Height?

第3题 正方形边长为 10，对角线是多少？Square side=10. Diagonal?

第4题 等腰直角三角形斜边为 10，直角边是多少？Isosceles right triangle, hypotenuse=10. Leg?

第5题 直角三角形三边分别为 9, 40, 41。这是一组勾股数吗？验证并求面积。Sides: 9,40,41. Is this a Pythagorean triple? Find area.

第6题 A(1,2) 到 B(4,6) 的距离是多少？Distance from A(1,2) to B(4,6)?

第7题 矩形对角线为 26，长为 24。宽是多少？Diagonal=26, length=24. Width?

第8题 一个正方体棱长为 5，从顶点 A 沿表面到对角顶点 B 的最短路径长度是多少？（展开为平面后）Cube edge=5. Shortest surface path from one vertex to opposite corner?

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