🗺️ 知识地图

AIME 知识体系 › 组合与概率 › 🎲 概率与期望 2 / 3

1组合数学 2概率与期望 3高级计数

🎲 概率与期望

Probability and Expectation

概率与期望是 AIME 中的重要内容，涉及概率的基本概念、条件概率、贝叶斯定理、随机变量的期望和方差等多个概念。掌握这些理论，对于解决复杂的概率问题至关重要。

📖 3 章节 💡 4 道例题 🎯 难度：进阶 ⏱ 约30分钟

概率基础 Basics of Probability

进阶高频

概率基础是概率与期望中的核心概念，涉及概率的定义、基本性质、事件的独立性等内容。

Basics of probability are core concepts in probability and expectation, involving the definition of probability, basic properties, independence of events, and other content.

📝 概率的定义 / Definition of Probability

概率的定义：

对于一个随机试验，设样本空间为 S，事件 A 是 S 的一个子集，事件 A 发生的概率 P(A) 是一个满足以下条件的实数：

1. 非负性：P(A) ≥ 0

2. 规范性：P(S) = 1

3. 可列可加性：对于两两互斥的事件 A₁, A₂, ...，有 P(∪Aᵢ) = ΣP(Aᵢ)

Definition of probability

概率的基本性质：

互补事件：P(A') = 1 - P(A)
加法公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
乘法公式：P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

💡 提示： 概率的基本性质是解决概率问题的基础，需要熟练掌握。

例题 1 Example 1

📝 AIME 2021 I Problem 10 难度：中等

抛一枚公平的硬币，求正面朝上的概率。 Toss a fair coin. Find the probability of getting heads.

解答：

抛硬币的样本空间 S = {正面, 反面}，事件 A = {正面}。

由于硬币是公平的，每个结果的概率相等，所以 P(A) = 1/2。

The sample space S = {heads, tails}, event A = {heads}. Since the coin is fair, each outcome has equal probability, so P(A) = 1/2.

💡 关键思路： 利用概率的定义计算事件的概率。

条件概率与贝叶斯定理 Conditional Probability and Bayes' Theorem

进阶必考

条件概率与贝叶斯定理是概率与期望中的重要内容，涉及条件概率的计算、贝叶斯定理的应用等。

Conditional probability and Bayes' theorem are important content in probability and expectation, involving calculation of conditional probability, application of Bayes' theorem, and other content.

📝 条件概率 / Conditional Probability

条件概率的定义：

P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)，其中 P(A) > 0

Definition of conditional probability

📝 贝叶斯定理 / Bayes' Theorem

贝叶斯定理：

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

Bayes' theorem

事件的独立性：

如果 P(A ∩ B) = P(A)P(B)，则事件 A 和 B 独立
如果 A 和 B 独立，则 P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)

⚠️ 注意： 条件概率和贝叶斯定理是概率与期望中的重要内容，需要熟练掌握。

例题 2 Example 2

📝 AIME 2020 II Problem 11 难度：中等

已知 P(A) = 0.4，P(B) = 0.5，P(A ∩ B) = 0.2。求 P(A|B)。 Given P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.2. Find P(A|B).

解答：

根据条件概率的定义：

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.2 / 0.5 = 0.4。

According to the definition of conditional probability: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = 0.2 / 0.5 = 0.4.

💡 关键思路： 直接应用条件概率的定义计算。

期望与方差 Expectation and Variance

困难选考

期望与方差是概率与期望中的重要内容，涉及随机变量的期望、方差的计算和性质。

Expectation and variance are important content in probability and expectation, involving calculation and properties of expectation and variance of random variables.

📝 期望的定义 / Definition of Expectation

期望的定义：

对于离散型随机变量 X，期望 E[X] = Σ xP(X = x)

对于连续型随机变量 X，期望 E[X] = ∫ x f(x) dx

Definition of expectation

📝 方差的定义 / Definition of Variance

方差的定义：

Var(X) = E[(X - E[X])²] = E[X²] - (E[X])²

Definition of variance

期望的性质：

线性性：E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]
如果 X 和 Y 独立，则 E[XY] = E[X]E[Y]

方差的性质：

Var(aX + b) = a²Var(X)
如果 X 和 Y 独立，则 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

💡 提示： 期望和方差是随机变量的重要数字特征，需要熟练掌握其计算方法和性质。

例题 3 Example 3

📝 AIME 2019 I Problem 11 难度：困难

掷一枚公平的骰子，求点数的期望。 Roll a fair die. Find the expectation of the number rolled.

解答：

骰子的点数 X 可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6，每个值的概率都是 1/6。

期望 E[X] = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5。

The die can show values 1, 2, 3, 4, 5, 6, each with probability 1/6. The expectation is E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5.

💡 关键思路： 直接应用期望的定义计算。

综合练习

练习题 1：从一副 52 张扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃的概率。 Randomly draw a card from a standard 52-card deck. Find the probability of drawing a heart.

✅ 回答正确！

❌ 回答错误，请再试一次。

练习题 2：已知 P(A) = 0.6，P(B|A) = 0.5。求 P(A ∩ B)。 Given P(A) = 0.6, P(B|A) = 0.5. Find P(A ∩ B).

✅ 回答正确！

❌ 回答错误，请再试一次。

练习题 3：抛一枚公平的硬币两次，求正面朝上次数的期望。 Toss a fair coin twice. Find the expectation of the number of heads.

✅ 回答正确！

❌ 回答错误，请再试一次。