三角形的性质与定理是 AIME 平面几何中的核心概念，涉及三角形的全等、相似、面积、中线、角平分线、高线等重要内容。
Properties and theorems of triangles are core concepts in AIME plane geometry, involving congruence, similarity, area, medians, angle bisectors, altitudes, and other important content.
三角形的面积公式：
- 基本公式：S = (1/2)ab·sinC
- 海伦公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中 s = (a+b+c)/2
- 向量公式：S = (1/2)|AB × AC|
- 坐标公式：S = (1/2)|x₁y₂ - x₂y₁|
例题 1 Example 1
使用余弦定理：
cosA = (AB² + AC² - BC²) / (2·AB·AC)
代入数值：
cosA = (5² + 6² - 7²) / (2·5·6) = (25 + 36 - 49) / 60 = 12 / 60 = 1/5
所以角 A 的余弦值为 1/5。
Using the law of cosines: cosA = (AB² + AC² - BC²) / (2·AB·AC) = (25 + 36 - 49) / 60 = 12 / 60 = 1/5.
圆的性质与定理是 AIME 平面几何中的重要内容，涉及圆的基本性质、圆幂定理、圆周角定理、切线定理等重要内容。
Properties and theorems of circles are important content in AIME plane geometry, involving basic properties of circles, power of a point, inscribed angle theorem, tangent theorem, and other important content.
圆的位置关系：
- 点与圆：点在圆内、圆上、圆外
- 直线与圆：相离、相切、相交
- 圆与圆：外离、外切、相交、内切、内含
例题 2 Example 2
连接 OA、OB、OP、AB，设 AB 与 OP 交于点 C。
由于 PA 和 PB 是切线，所以 OA⊥PA，OB⊥PB。
在直角三角形 OPA 中，PA = √(OP² - OA²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12。
由于 AB 是两切线的切点弦，所以 OP 垂直平分 AB，即 OC⊥AB，且 AC = CB。
利用面积法：S△OPA = (1/2)·OA·PA = (1/2)·OP·AC
代入数值：(1/2)·5·12 = (1/2)·13·AC → 30 = (13/2)·AC → AC = 60/13
所以 AB = 2·AC = 120/13。
Connect OA, OB, OP, AB, let AB intersect OP at point C. In right triangle OPA, PA = √(13² - 5²) = 12. Using area method: (1/2)·5·12 = (1/2)·13·AC → AC = 60/13. Thus AB = 2·AC = 120/13.
四边形的性质与定理是 AIME 平面几何中的重要内容，涉及平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等四边形的性质和判定。
Properties and theorems of quadrilaterals are important content in AIME plane geometry, involving properties and criteria of parallelograms, rectangles, rhombuses, squares, trapezoids, and other quadrilaterals.
圆内接四边形的性质：
- 对角互补
- 外角等于内对角
- 托勒密定理：AC·BD = AB·CD + AD·BC
例题 3 Example 3
在平行四边形中，向量 AC = AB + AD。
根据向量的模长公式：|AC|² = |AB|² + |AD|² + 2·AB·AD·cos∠BAD
代入数值：
|AC|² = 5² + 12² + 2·5·12·cos60° = 25 + 144 + 120·(1/2) = 169 + 60 = 229
所以 |AC| = √229。
另一种方法：使用余弦定理
在三角形 ABC 中，AB = 5，BC = AD = 12，∠ABC = 180° - 60° = 120°
AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠ABC = 25 + 144 - 2·5·12·cos120° = 169 - 120·(-1/2) = 169 + 60 = 229
所以 AC = √229。
In a parallelogram, vector AC = AB + AD. Using the formula for the magnitude of a sum of vectors: |AC|² = |AB|² + |AD|² + 2·AB·AD·cos∠BAD = 25 + 144 + 120·(1/2) = 229. Thus AC = √229.